Номер 140, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 140, страница 296.

Условие.

Решите уравнения (140, 141).

140. а) $ \frac{6x - x^2 - 6}{x - 1} - \frac{2x - 3}{x - 1} = 1; $

б) $ \frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5; $

в) $ \frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}; $

г) $ \frac{14}{x^2 - 4} + \frac{3}{(2 - x)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

140. а) $\frac{6x - x^2 - 6}{x-1} - \frac{2x-3}{x-1} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Так как у дробей в левой части уравнения одинаковые знаменатели, мы можем объединить их числители:

$\frac{(6x - x^2 - 6) - (2x-3)}{x-1} = 1$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6x - x^2 - 6 - 2x + 3}{x-1} = 1$

$\frac{-x^2 + 4x - 3}{x-1} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(x-1)$, учитывая, что $x \neq 1$:

$-x^2 + 4x - 3 = x-1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - x - 3 + 1 = 0$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2

140. б) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$.

Для решения этого уравнения удобно использовать замену переменной. Пусть $y = \frac{2x+1}{x}$.

Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$. Заметим, что $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{y}$. Следовательно, $\frac{4x}{2x+1} = 4 \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{4}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части на $y$ (при этом $y \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq -0.5$):

$y^2 + 4 = 5y$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

1) Если $y_1 = 1$:

$\frac{2x+1}{x} = 1$

$2x+1 = x$

$x = -1$

2) Если $y_2 = 4$:

$\frac{2x+1}{x} = 4$

$2x+1 = 4x$

$1 = 2x$

$x = 0.5$

Оба корня, $x = -1$ и $x = 0.5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -0.5$).

Ответ: -1; 0,5

140. в) $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$

Сначала разложим знаменатели на множители:

$x^2+5x = x(x+5)$

$2x-10 = 2(x-5)$

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

Перепишем уравнение: $\frac{2}{x(x+5)} + \frac{3}{2(x-5)} = \frac{15}{(x-5)(x+5)}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x \neq 0$, $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Общий знаменатель для всех дробей: $2x(x-5)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot x(x+5) = 15 \cdot 2x$

Раскроем скобки и упростим:

$4(x-5) + 3x(x+5) = 30x$

$4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$

$3x^2 + 19x - 20 = 30x$

Перенесем все в левую часть:

$3x^2 - 11x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 19}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{11+19}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{11-19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \neq 5$, это посторонний корень. Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$

140. г) $\frac{14}{x^2-4} + \frac{3}{(2-x)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$

Преобразуем знаменатели. Заметим, что $(2-x)^2 = (-(x-2))^2 = (x-2)^2$. Также $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{14}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Общий знаменатель: $(x-2)^2(x+2)^2$. Умножим на него все члены уравнения:

$14(x-2)(x+2) + 3(x+2)^2 = 5(x-2)^2$

Раскроем скобки:

$14(x^2-4) + 3(x^2+4x+4) = 5(x^2-4x+4)$

$14x^2 - 56 + 3x^2 + 12x + 12 = 5x^2 - 20x + 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$17x^2 + 12x - 44 = 5x^2 - 20x + 20$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$17x^2 - 5x^2 + 12x + 20x - 44 - 20 = 0$

$12x^2 + 32x - 64 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$3x^2 + 8x - 16 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{-8+16}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-8-16}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

Оба корня, $x_1 = \frac{4}{3}$ и $x_2 = -4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: -4; $\frac{4}{3}$