Номер 136, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 136, страница 296.

Условие.

136. Решите уравнение:

a) $x^2 + 2x - 15 = 0$;

б) $7x^2 + 5x = 0$;

в) $(x - 3) (x - 2) = 6 (x - 3)$;

г) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^2 + 2x - 15 = 0$
Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a = 1, b = 2, c = -15$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -5$.

б) $7x^2 + 5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x + 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x = 0$.
2) $7x + 5 = 0$.
$7x = -5$.
$x = -\frac{5}{7}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{7}$.

в) $(x - 3)(x - 2) = 6(x - 3)$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$(x - 3)(x - 2) - 6(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)((x - 2) - 6) = 0$.
$(x - 3)(x - 8) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) $x - 8 = 0 \implies x = 8$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 8$.

г) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:
$6 \cdot x^2 - 6 \cdot \frac{11x}{6} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 0$.
$6x^2 - 11x + 3 = 0$.
Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a = 6, b = -11, c = 3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-11) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$.