Номер 130, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 130, страница 295.

Условие.

Решите уравнения (130, 131).

130. a) $3(x-2)-5=4-(5x-1)$;

б) $|2x-3|=5$;

в) $7-2(3-x)=4(x-1)+5$;

г) $|4-3x|=2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $3(x - 2) - 5 = 4 - (5x - 1)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим 3 на каждый член в скобках. В правой части изменим знаки у членов в скобках, так как перед скобкой стоит знак минус.

$3 \cdot x - 3 \cdot 2 - 5 = 4 - 5x + 1$

$3x - 6 - 5 = 4 - 5x + 1$

Теперь упростим каждую часть уравнения, выполнив арифметические действия с константами.

$3x - 11 = 5 - 5x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + 5x = 5 + 11$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях.

$8x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 8.

$x = \frac{16}{8}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

б) $|2x - 3| = 5$

Уравнение с модулем $|A| = b$ (где $b \geq 0$) равносильно двум уравнениям: $A = b$ и $A = -b$. В нашем случае $A = 2x - 3$ и $b = 5$.

Таким образом, мы должны решить два уравнения:

1) $2x - 3 = 5$

2) $2x - 3 = -5$

Решим первое уравнение:

$2x = 5 + 3$

$2x = 8$

$x_1 = \frac{8}{2}$

$x_1 = 4$

Решим второе уравнение:

$2x = -5 + 3$

$2x = -2$

$x_2 = \frac{-2}{2}$

$x_2 = -1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$

в) $7 - 2(3 - x) = 4(x - 1) + 5$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$7 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot x) = (4 \cdot x - 4 \cdot 1) + 5$

$7 - 6 + 2x = 4x - 4 + 5$

Упростим каждую часть уравнения.

$1 + 2x = 4x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Удобнее перенести $2x$ вправо, а 1 влево.

$1 - 1 = 4x - 2x$

Приведем подобные слагаемые.

$0 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2.

$x = \frac{0}{2}$

$x = 0$

Ответ: $x=0$

г) $|4 - 3x| = 2$

Это уравнение с модулем, аналогичное пункту б). Оно распадается на два отдельных уравнения.

1) $4 - 3x = 2$

2) $4 - 3x = -2$

Решим первое уравнение:

Перенесем 4 в правую часть.

$-3x = 2 - 4$

$-3x = -2$

Разделим обе части на -3.

$x_1 = \frac{-2}{-3}$

$x_1 = \frac{2}{3}$

Решим второе уравнение:

Перенесем 4 в правую часть.

$-3x = -2 - 4$

$-3x = -6$

Разделим обе части на -3.

$x_2 = \frac{-6}{-3}$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{3}$