Номер 127, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 127, страница 295.

Условие.

127. Докажите, что равны наибольшие значения функций $y = (\log_2 3)^{\sin x}$ и $y = (\log_3 2)^{\cos x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что наибольшие значения данных функций равны, необходимо найти наибольшее значение для каждой из функций и сравнить их.

Рассмотрим первую функцию $y_1 = (\log_2 3)^{\sin x}$. Это показательная функция, основание которой $a = \log_2 3$. Поскольку $2^1 = 2$, а $3 > 2$, то $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$. Так как основание $a = \log_2 3 > 1$, функция является возрастающей. Ее наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя степени, то есть $\sin x$. Наибольшее значение функции $\sin x$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение первой функции: $y_{1, \max} = (\log_2 3)^1 = \log_2 3$.

Рассмотрим вторую функцию $y_2 = (\log_3 2)^{\cos x}$. Это показательная функция, основание которой $b = \log_3 2$. Поскольку $3^0 = 1$ и $3^1 = 3$, а $1 < 2 < 3$, то $0 < \log_3 2 < 1$. Так как основание $b = \log_3 2$ находится в интервале $(0, 1)$, функция является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении показателя степени, то есть $\cos x$. Наименьшее значение функции $\cos x$ равно -1. Следовательно, наибольшее значение второй функции: $y_{2, \max} = (\log_3 2)^{-1}$.

Теперь сравним полученные наибольшие значения $y_{1, \max}$ и $y_{2, \max}$. Используем свойство логарифма $\log_k m = \frac{1}{\log_m k}$ для преобразования выражения для $y_{2, \max}$: $y_{2, \max} = (\log_3 2)^{-1} = \frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3$.

Таким образом, мы получили, что $y_{1, \max} = \log_2 3$ и $y_{2, \max} = \log_2 3$. Так как $y_{1, \max} = y_{2, \max}$, наибольшие значения данных функций равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Наибольшее значение функции $y = (\log_2 3)^{\sin x}$ равно $\log_2 3$. Наибольшее значение функции $y = (\log_3 2)^{\cos x}$ равно $(\log_3 2)^{-1} = \log_2 3$. Поскольку наибольшие значения обеих функций равны $\log_2 3$, утверждение доказано.