Номер 122, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 122, страница 294.

Условие.

Постройте графики функций (122, 123).

122.

а) $y = \sqrt{x-2} + 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$;

в) $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$;

г) $y = 1 + \log_2 (x+2)$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Построение графика функции $y = \sqrt{x-2} + 1$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ (это ветвь параболы, направленная вправо, с вершиной в начале координат) с помощью последовательных геометрических преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = \sqrt{x}$. Ключевые точки для этого графика: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Далее, чтобы получить график функции $y = \sqrt{x-2}$, мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.
3. Наконец, чтобы получить искомый график $y = \sqrt{x-2} + 1$, мы сдвигаем график $y = \sqrt{x-2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина графика переместится из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 1)$.

Таким образом, мы получаем ветвь параболы, выходящую из точки $(2, 1)$ и идущую вправо-вверх.
Область определения функции: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Область значений функции: $y \ge 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2} + 1$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(2, 1)$.

б) Построение графика функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$.

График данной функции можно получить из графика базовой показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$. Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то функция является убывающей.

1. Сначала строим график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$. Это убывающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Другие точки на графике: $(-1, 3)$, $(1, \frac{1}{3})$.
2. Чтобы получить график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$, мы сдвигаем график $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

В результате сдвига точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(1, 1)$, точка $(-1, 3)$ — в точку $(0, 3)$, а точка $(1, \frac{1}{3})$ — в точку $(2, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется на месте.
Область определения функции: $(-\infty, +\infty)$.
Область значений функции: $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$ — это график показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(0, 3)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) Построение графика функции $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$.

Для удобства построения перепишем функцию в виде $y = -\sqrt[3]{x+1} + 2$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) путем последовательных преобразований.

1. Строим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат $(0, 0)$. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.
2. Чтобы получить $y = \sqrt[3]{x+1}$, сдвигаем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу влево. Центр симметрии смещается в точку $(-1, 0)$.
3. Чтобы получить $y = -\sqrt[3]{x+1}$, отражаем предыдущий график симметрично относительно оси Ox. Возрастающая кривая становится убывающей.
4. Чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[3]{x+1} + 2$, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх. Центр симметрии смещается в точку $(-1, 2)$.

Ключевые точки итогового графика: центр симметрии $(-1, 2)$. Точка $(0, 1)$ (при $x=0$, $y=2-1=1$), точка $(-2, 3)$ (при $x=-2$, $y=2-(-1)=3$), точка $(7, 0)$ (при $x=7$, $y=2-2=0$).
Область определения и область значений — все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвига на 2 единицы вверх. Центр симметрии графика находится в точке $(-1, 2)$.

г) Построение графика функции $y = 1 + \log_2(x+2)$.

График данной функции можно получить из графика базовой логарифмической функции $y = \log_2(x)$. Так как основание логарифма $a=2 > 1$, функция является возрастающей.

1. Сначала строим график функции $y = \log_2(x)$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy). Другие точки: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(\frac{1}{2}, -1)$.
2. Чтобы получить график $y = \log_2(x+2)$, мы сдвигаем график $y = \log_2(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-2$.
3. Чтобы получить искомый график $y = 1 + \log_2(x+2)$, мы сдвигаем полученный график $y = \log_2(x+2)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

В результате преобразований вертикальная асимптота графика — прямая $x=-2$. Точка $(1, 0)$ с базового графика переместится в точку $(-1, 1)$. Точка $(2, 1)$ — в точку $(0, 2)$.
Область определения функции: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Область значений функции: $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \log_2(x+2)$ — это график функции $y = \log_2(x)$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=-2$.