Номер 118, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 118, страница 294.

Условие.

118. а) $y = 4^{x+2} - 4^x$;

б) $y = \lg (x - 2) - 1$;

в) $y = \sqrt{x+3}$;

г) $y = 2 - \sqrt[3]{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для функции $y = 4^{x+2} - 4^x$.

Область определения (D(y)):
Данная функция представляет собой разность двух показательных функций. Показательная функция $a^t$ определена для любого действительного значения аргумента $t$. Следовательно, оба слагаемых $4^{x+2}$ и $4^x$ определены для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Для нахождения области значений преобразуем выражение:
$y = 4^{x+2} - 4^x = 4^x \cdot 4^2 - 4^x = 16 \cdot 4^x - 1 \cdot 4^x = (16-1) \cdot 4^x = 15 \cdot 4^x$.
Область значений показательной функции $g(x) = 4^x$ — это все положительные числа, то есть $E(g) = (0; +\infty)$, так как $4^x > 0$ при любом $x$.
Поскольку мы умножаем значения функции $4^x$ на положительную константу 15, то область значений итоговой функции также будет состоять только из положительных чисел.
$E(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \lg(x - 2) - 1$.

Область определения (D(y)):
Данная функция является логарифмической. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Область значений функции десятичного логарифма $f(t) = \lg(t)$ (где $t = x-2$) — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Вычитание константы 1 из функции приводит к сдвигу её графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат, но не изменяет множество принимаемых значений.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt{x + 3}$.

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит квадратный корень. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{t}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{t} \ge 0$.
Поскольку подкоренное выражение $x+3$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$ при $x \in [-3; +\infty)$, то и сама функция $y = \sqrt{x+3}$ будет принимать все значения от $\sqrt{0}$ и больше.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) Для функции $y = 2 - \sqrt[3]{x}$.

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит кубический корень. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для любого действительного числа (как положительного, так и отрицательного, и нуля).
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Область значений функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Умножение на -1 (функция $g(x) = -\sqrt[3]{x}$) и прибавление константы 2 (функция $y = 2 + g(x)$) не изменяют множество принимаемых значений, которое остаётся множеством всех действительных чисел. Эти преобразования лишь отражают и сдвигают график, но он по-прежнему будет простираться от $-\infty$ до $+\infty$ по оси ординат.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.