Номер 112, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 112, страница 293.

Условие.

112. а) $y = \sqrt{16x - x^3}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 + 8}};

В) $y = \sqrt[6]{5 - x - \frac{4}{x}};

Г) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + x - 20}}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \sqrt{16x - x^3}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$16x - x^3 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(16 - x^2) \ge 0$

Разложим выражение в скобках на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(4 - x)(4 + x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(4 - x)(4 + x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -4]$, $[-4, 0]$, $[0, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения $x(4 - x)(4 + x)$ в каждом интервале.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $5(4-5)(4+5) = 5(-1)(9) < 0$.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(4-1)(4+1) = 1(3)(5) > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(4-(-1))(4-1) = -1(5)(3) < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $-5(4-(-5))(4-5) = -5(9)(-1) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -4]$ и $[0, 4]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -4] \cup [0, 4]$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 + 8}}$

Область определения функции задается двумя условиями:
1. Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $x^3 + 8 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x^3 + 8} \neq 0$.

Объединив эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^3 + 8 > 0$

$x^3 > -8$

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$x > \sqrt[3]{-8}$

$x > -2$

Ответ: $D(y) = (-2, \infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{5 - x - \frac{4}{x}}$

Область определения функции задается двумя условиями:
1. Выражение под корнем четной степени (шестой) должно быть неотрицательным: $5 - x - \frac{4}{x} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби $\frac{4}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

Решим неравенство. Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{5x - x^2 - 4}{x} \ge 0$

Домножим числитель и знаменатель на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 5x + 4}{x} \le 0$

Найдем корни числителя: $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Корень знаменателя: $x_3 = 0$.

Нанесем точки 0, 1, 4 на числовую ось. Точка 0 будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю, а точки 1 и 4 будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1]$, $[1, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения $\frac{(x-1)(x-4)}{x}$ в каждом интервале.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $1 < x < 4$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, 0)$ и $[1, 4]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, 4]$.

г) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + x - 20}}$

Так как корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго положительным:

$x^2 + x - 20 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 20 = 0$. Используем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

Парабола $y = x^2 + x - 20$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $x^2 + x - 20 > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > 4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.