Номер 107, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 107, страница 292.

Условие.

107. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = \frac{1}{2} + \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$;

б) $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)$;

в) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$;

г) $y = 1 - \operatorname{tg} 2x$.

Решение 1.

Решение 5.

а) Исследуем функцию $y = \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y=\sin(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y=\sin(x)$ вправо вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх вдоль оси ординат на $\frac{1}{2}$. Получаем график искомой функции $y = \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.

Проведем исследование функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Тогда $\frac{1}{2} - 1 \le \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2} + 1$, что дает $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. Таким образом, $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Так как период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$, то и период данной функции $T = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат.
5. Нули функции (точки пересечения с осью OX):
$y=0 \Rightarrow \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 0 \Rightarrow \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
$x-\frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=0$ имеем $x=0$, при $k=1$ имеем $x=\frac{4\pi}{3}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \frac{1}{2} + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
7. Точки экстремума:
Максимумы достигаются, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$. Тогда $y_{max} = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$. Это происходит при $x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Минимумы достигаются, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1$. Тогда $y_{min} = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$. Это происходит при $x-\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на одном периоде, например на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\right]$, отметим ключевые точки: $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (начало "волны"), $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3}{2})$ (максимум), $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (середина "волны"), $(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{2})$ (минимум), $(\frac{13\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (конец "волны").

Ответ: График функции — синусоида, полученная сдвигом графика $y=\sin x$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо и на $\frac{1}{2}$ вверх. Период $T=2\pi$, область значений $E(y)=\left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.

---

б) Исследуем функцию $y = \frac{1}{2} \tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

График этой функции можно получить из графика $y=\tg(x)$ преобразованиями:
1. Растяжение вдоль оси OX в 2 раза ($y=\tg(\frac{x}{2})$). Период становится $T=\pi / (1/2) = 2\pi$.
2. Сдвиг вправо на $\frac{2\pi}{3}$ ($y=\tg(\frac{1}{2}(x - \frac{2\pi}{3})) = \tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3})$).
3. Сжатие вдоль оси OY в 2 раза ($y=\frac{1}{2}\tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3})$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Периодичность: Период базовой функции $\tg(t)$ равен $\pi$. Период функции $\tg(ax+b)$ равен $T=\frac{\pi}{|a|}$. Здесь $a=1/2$, поэтому $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции:
$y=0 \Rightarrow \tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \frac{1}{2}\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(0; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
7. Асимптоты: Вертикальные асимптоты проходят через точки, где функция не определена: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Монотонность: Функция возрастает на каждом интервале области определения.

Для построения графика строим асимптоты, например, $x=-\frac{\pi}{3}$ и $x=\frac{5\pi}{3}$. Между ними отмечаем точку пересечения с осью абсцисс $(\frac{2\pi}{3}; 0)$ и с осью ординат $(0; -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Затем строим одну ветвь тангенсоиды и продолжаем ее периодически с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T=2\pi$, сжатая по вертикали в 2 раза, смещенная на $\frac{2\pi}{3}$ вправо. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

в) Исследуем функцию $y = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, преобразуем функцию: $y = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
График этой функции можно получить из графика $y=\cos(x)$ преобразованиями:
1. Сжатие вдоль оси OY в 2 раза ($y=\frac{1}{2}\cos(x)$).
2. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$ ($y=\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$).
3. Сдвиг вверх на 1 ($y=1+\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $-1 \le \cos(x-\frac{\pi}{4}) \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{2}$.
$1-\frac{1}{2} \le 1+\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) \le 1+\frac{1}{2}$, то есть $\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. $E(y) = \left[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
3. Периодичность: Период $T = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow 1 + \frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow \cos(x-\frac{\pi}{4}) = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$. Нулей у функции нет, график не пересекает ось OX.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y=1+\frac{1}{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) = 1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\frac{\sqrt{2}}{4}$. Точка $(0; 1+\frac{\sqrt{2}}{4})$.
7. Точки экстремума:
Максимумы $y_{max}=\frac{3}{2}$ при $\cos(x-\frac{\pi}{4})=1 \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Минимумы $y_{min}=\frac{1}{2}$ при $\cos(x-\frac{\pi}{4})=-1 \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi k \Rightarrow x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на одном периоде, например на $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]$, отметим ключевые точки: $(\frac{\pi}{4}, \frac{3}{2})$ (максимум), $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ (точка перегиба), $(\frac{5\pi}{4}, \frac{1}{2})$ (минимум), $(\frac{7\pi}{4}, 1)$ (точка перегиба), $(\frac{9\pi}{4}, \frac{3}{2})$ (следующий максимум).

Ответ: График функции — косинусоида, сжатая по вертикали в 2 раза, смещенная на $\frac{\pi}{4}$ вправо и на 1 вверх. Период $T=2\pi$, область значений $E(y)=\left[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$. Функция не имеет нулей.

---

г) Исследуем функцию $y = 1 - \tg(2x)$.

График этой функции можно получить из графика $y=\tg(x)$ преобразованиями:
1. Сжатие вдоль оси OX в 2 раза ($y=\tg(2x)$). Период становится $T=\pi/2$.
2. Симметричное отражение относительно оси OX ($y=-\tg(2x)$).
3. Сдвиг вверх на 1 ($y=1-\tg(2x)$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Периодичность: Период $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции:
$y=0 \Rightarrow 1-\tg(2x) = 0 \Rightarrow \tg(2x) = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = 1 - \tg(0) = 1$. Точка $(0; 1)$.
7. Асимптоты: Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
8. Монотонность: Так как функция $\tg(t)$ возрастающая, а перед ней стоит знак минус, функция $y = 1 - \tg(2x)$ является убывающей на каждом интервале области определения.

Для построения графика строим асимптоты, например, $x=-\frac{\pi}{4}$ и $x=\frac{\pi}{4}$. Между ними отмечаем точку пересечения с осью ординат $(0; 1)$, которая является точкой перегиба, и точку пересечения с осью абсцисс $(\frac{\pi}{8}; 0)$. Затем строим одну ветвь убывающей функции и продолжаем ее периодически с периодом $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T=\frac{\pi}{2}$, отраженная относительно оси OX и сдвинутая на 1 вверх. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.