Номер 106, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 106, страница 292.

Условие.

106. а) $y = \frac{|x| \sin x}{x};$

В) $y = \cos x + |\cos x|;$

б) $y = (\sin x - \cos x)^2;$

Г) $y = \sin x \operatorname{ctg} x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{|x| \sin x}{x}$

Область определения данной функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|x|$.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \frac{x \sin x}{x} = \sin x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \frac{-x \sin x}{x} = -\sin x$

Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x > 0 \\ -\sin x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x > 0 \\ -\sin x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = (\sin x - \cos x)^2$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$y = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin(2x)$

Ответ: $y = 1 - \sin(2x)$

в) $y = \cos x + |\cos x|$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция $\cos x$ определена для всех действительных чисел. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае функция принимает вид:

$y = \cos x + \cos x = 2 \cos x$

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае функция принимает вид:

$y = \cos x - \cos x = 0$

Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{при } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

г) $y = \sin x \operatorname{ctg} x$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ учтем, что функция $\operatorname{ctg} x$ не определена, когда $\sin x = 0$.

$\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Теперь упростим выражение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Так как в области определения $\sin x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $\sin x$:

$y = \cos x$

Итак, данная функция является функцией $y = \cos x$ с областью определения $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = \cos x$ при $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.