Номер 105, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 105, страница 292.

Условие.

Постройте графики функций (105, 106).

105.

а) $y = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2 x}$;

в) $y = 1 + 2 \cos 2x$;

г) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = 2 \sin^2{\frac{x}{2}}$

Для построения графика этой функции, мы сначала упростим ее выражение, используя формулу понижения степени для синуса: $2 \sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha}$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 1 - \cos{x}$.

Построение графика функции $y = 1 - \cos{x}$ можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике $y = \cos{x}$:
1. Строим график основной функции $y = \cos{x}$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и проходящая через точку $(0, 1)$.
2. Строим график $y = -\cos{x}$. Это результат зеркального отражения графика $y = \cos{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Теперь график проходит через точку $(0, -1)$.
3. Строим график $y = 1 - \cos{x}$ (что то же самое, что $y = -\cos{x} + 1$). Это результат сдвига графика $y = -\cos{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные характеристики графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Область значений: $[0, 2]$.
- Максимальное значение $y=2$ достигается при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Минимальное значение $y=0$ достигается при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin^2{\frac{x}{2}}$ является графиком функции $y = \cos{x}$, отраженным относительно оси Ox и смещенным на 1 единицу вверх.

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$

Упростим данное выражение, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2{x} = \sin^2{x}$.
Подставив это в исходное уравнение, получаем: $y = \sqrt{\sin^2{x}}$.

Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, функция принимает вид: $y = |\sin{x}|$.

Для построения графика функции $y = |\sin{x}|$:
1. Сначала строим график функции $y = \sin{x}$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Затем применяем операцию взятия модуля. Все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения $y$ отрицательны), симметрично отражаются вверх относительно этой оси. Части графика, которые уже находятся выше или на оси абсцисс, остаются без изменений.

Основные характеристики графика:
- Функция неотрицательна, $y \ge 0$.
- Период: $T = \pi$ (в отличие от $y = \sin{x}$, у которого период $2\pi$, здесь отрицательная полуволна становится положительной, и узор повторяется в два раза чаще).
- Область значений: $[0, 1]$.
- Нули функции ($y=0$) находятся в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$ — это график функции $y=|\sin{x}|$, который получается из графика $y = \sin{x}$ путем симметричного отражения всех его отрицательных участков относительно оси Ox.

в) $y = 1 + 2 \cos{2x}$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \cos{x}$. Порядок преобразований:
1. Строим график $y = \cos{x}$.
2. Строим график $y = \cos{2x}$. Происходит сжатие графика $y = \cos{x}$ в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Строим график $y = 2\cos{2x}$. Происходит растяжение графика $y = \cos{2x}$ в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда увеличивается до 2, а область значений становится $[-2, 2]$.
4. Строим график $y = 1 + 2\cos{2x}$. Происходит сдвиг графика $y = 2\cos{2x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Основные характеристики итогового графика:
- Период: $T = \pi$.
- Амплитуда: 2.
- Вертикальный сдвиг: +1 (новая ось симметрии - прямая $y=1$).
- Область значений: $[-1, 3]$.
- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: максимум в $(0, 3)$, пересечение с осью симметрии в $(\frac{\pi}{4}, 1)$, минимум в $(\frac{\pi}{2}, -1)$, пересечение с осью симметрии в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, максимум в $(\pi, 3)$.

Ответ: График функции $y = 1 + 2 \cos{2x}$ получается из графика $y = \cos{x}$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига на 1 единицу вверх.

г) $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \sin{x}$.
1. Строим график основной функции $y = \sin{x}$.
2. Строим график $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})}$. Это сдвиг (фазовый сдвиг) графика $y = \sin{x}$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox.
3. Строим график $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$. Это сдвиг графика $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Основные характеристики итогового графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Амплитуда: 1.
- Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): на $\frac{\pi}{3}$ вправо.
- Вертикальный сдвиг: на 2 вниз (новая ось симметрии - прямая $y=-2$).
- Область значений: $[-3, -1]$.
- Ключевые точки (с учетом сдвигов):
- Начало "волны" (пересечение с осью $y=-2$, где функция возрастает): $(\frac{\pi}{3}, -2)$.
- Максимум: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1-2) = (\frac{5\pi}{6}, -1)$.
- Минимум: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, -1-2) = (\frac{11\pi}{6}, -3)$.

Ответ: График функции $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$ получается из графика $y = \sin{x}$ путем сдвига на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо и на 2 единицы вниз.