Номер 98, страница 291 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 98, страница 291.

Условие.

Найдите область значений каждой из функций (98, 99).

98. a) $y = 1 - 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2 \cos x \operatorname{tg} x$;

в) $y = 2 + 3 \cos 5x$;

г) $y = 2 |\sin x| - 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = 1 - 3 \sin{\frac{x}{2}}$

Область значений функции синус, независимо от ее аргумента, представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin{\frac{x}{2}} \le 1$

2. Умножим все части неравенства на $-3$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-3) \ge -3 \sin{\frac{x}{2}} \ge 1 \cdot (-3)$
$3 \ge -3 \sin{\frac{x}{2}} \ge -3$
Что то же самое, что:
$-3 \le -3 \sin{\frac{x}{2}} \le 3$

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 3 \le 1 - 3 \sin{\frac{x}{2}} \le 1 + 3$
$-2 \le y \le 4$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-2, 4]$.
Ответ: $E(y) = [-2, 4]$.

---

б) $y = 2 \cos{x} \ \text{tg}{x}$

1. Сначала определим область определения функции. Тангенс $\text{tg}{x}$ определен как $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$. Следовательно, $\cos{x}$ не должен быть равен нулю:
$\cos{x} \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.

2. Упростим выражение для функции, учитывая область определения:
$y = 2 \cos{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 2 \sin{x}$

3. Теперь нам нужно найти область значений функции $y = 2 \sin{x}$ при условии, что $\cos{x} \neq 0$.
Мы знаем, что $-1 \le \sin{x} \le 1$. Следовательно, для $2 \sin{x}$ диапазон будет $-2 \le 2 \sin{x} \le 2$.

4. Однако, мы должны учесть ограничение $\cos{x} \neq 0$. Значения $\sin{x} = 1$ и $\sin{x} = -1$ достигаются только тогда, когда $\cos{x} = 0$. Поскольку эти точки исключены из области определения, функция $y = 2 \sin{x}$ никогда не достигнет значений $2 \cdot 1 = 2$ и $2 \cdot (-1) = -2$. Она может только стремиться к ним.

Следовательно, значения функции находятся в интервале $(-2, 2)$.
Ответ: $E(y) = (-2, 2)$.

---

в) $y = 2 + 3 \cos{5x}$

Область значений функции косинус, независимо от ее аргумента, представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos{5x} \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le 3 \cos{5x} \le 3$

3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$2 - 3 \le 2 + 3 \cos{5x} \le 2 + 3$
$-1 \le y \le 5$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-1, 5]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 5]$.

---

г) $y = 2 |\sin{x}| - 1$

1. Область значений функции $f(x) = \sin{x}$ есть отрезок $[-1, 1]$.
$-1 \le \sin{x} \le 1$

2. Применим операцию взятия модуля. Модуль любого числа из отрезка $[-1, 1]$ будет находиться на отрезке $[0, 1]$.
$0 \le |\sin{x}| \le 1$

3. Умножим все части неравенства на 2:
$0 \cdot 2 \le 2 |\sin{x}| \le 1 \cdot 2$
$0 \le 2 |\sin{x}| \le 2$

4. Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0 - 1 \le 2 |\sin{x}| - 1 \le 2 - 1$
$-1 \le y \le 1$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.