Номер 95, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 95, страница 290.

Условие.

95. Является ли четной или нечетной функция:

а) $y = 5x^6 - 2x^2 - 3;$

б) $y = 4x^5 - 2x^3 + x;$

в) $y = \frac{3}{x^2} + 1;$

г) $y = -\frac{2}{x^3}?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить выполнение следующих условий. Функция $y=f(x)$ является четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а) $y = 5x^6 - 2x^2 - 3$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 5x^6 - 2x^2 - 3$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5(-x)^6 - 2(-x)^2 - 3 = 5x^6 - 2x^2 - 3$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = 4x^5 - 2x^3 + x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 4x^5 - 2x^3 + x$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 4(-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) = -4x^5 - (-2x^3) - x = -4x^5 + 2x^3 - x$.

Вынесем знак минус за скобки: $f(-x) = -(4x^5 - 2x^3 + x)$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{3}{x^2} + 1$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{3}{x^2} + 1$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{3}{(-x)^2} + 1 = \frac{3}{x^2} + 1$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = -\frac{2}{x^3}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = -\frac{2}{x^3}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{2}{(-x)^3} = -\frac{2}{-x^3} = \frac{2}{x^3}$.

Теперь найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(-\frac{2}{x^3}) = \frac{2}{x^3}$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.