Страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

88. Докажите, что уравнение имеет корень, принадлежащий заданному промежутку I:

а) $x^3 - 6x + 2 = 0$, $I = [0; 1];$

б) $x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9} = 0$, $I = [1; 2];$

в) $x^5 + 3x = 5$, $I = [1; 2];$

г) $4 + 2x^3 - x^5 = 0$, $I = [-1; 2].$

а) $x^3 - 6x + 2 = 0, I = [0; 1]$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 6x + 2$. Эта функция является многочленом и, следовательно, непрерывна на всей числовой прямой, в том числе и на отрезке $[0; 1]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0 + 2 = 2$

$f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 2 = -3$

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$ и принимает на его концах значения разных знаков ($f(0) > 0$ и $f(1) < 0$), то согласно следствию из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении, существует по крайней мере одна точка $c \in (0; 1)$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет корень, принадлежащий данному промежутку.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9} = 0, I = [1; 2]$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9}$. Эта функция является многочленом и непрерывна на отрезке $[1; 2]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

$f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 + \frac{2}{9} = 1 - 3 + \frac{2}{9} = -2 + \frac{2}{9} = -\frac{18}{9} + \frac{2}{9} = -\frac{16}{9}$

$f(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^2 + \frac{2}{9} = 16 - 3 \cdot 4 + \frac{2}{9} = 16 - 12 + \frac{2}{9} = 4 + \frac{2}{9} = \frac{38}{9}$

Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по следствию из теоремы Больцано-Коши, существует точка $c \in (1; 2)$, такая что $f(c) = 0$. Следовательно, уравнение имеет корень на заданном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $x^5 + 3x = 5, I = [1; 2]$

Перепишем уравнение в виде $x^5 + 3x - 5 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x - 5$. Эта функция непрерывна на отрезке $[1; 2]$, так как является многочленом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

$f(2) = 2^5 + 3 \cdot 2 - 5 = 32 + 6 - 5 = 33$

Функция $f(x)$ непрерывна на $[1; 2]$ и $f(1) < 0$, а $f(2) > 0$. Значит, по следствию из теоремы Больцано-Коши, существует корень уравнения на интервале $(1; 2)$, а следовательно, и на отрезке $[1; 2]$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $4 + 2x^3 - x^5 = 0, I = [-1; 2]$

Рассмотрим функцию $f(x) = 4 + 2x^3 - x^5$. Как многочлен, эта функция непрерывна на любом отрезке, включая $[-1; 2]$.
Найдем значения функции на концах заданного промежутка:

$f(-1) = 4 + 2(-1)^3 - (-1)^5 = 4 + 2(-1) - (-1) = 4 - 2 + 1 = 3$

$f(2) = 4 + 2(2)^3 - 2^5 = 4 + 2 \cdot 8 - 32 = 4 + 16 - 32 = -12$

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и значения на его концах имеют разные знаки ($f(-1) > 0$ и $f(2) < 0$), то по следствию из теоремы Больцано-Коши, на интервале $(-1; 2)$ существует как минимум один корень уравнения $f(x)=0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Решите графически уравнения (неравенства) (89, 90).

89.

a) $4 - 3x \le x + 2$;

б) $x^2 - 2x = -x$;

в) $\frac{1}{x} = 4x$;

г) $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$.

а)

Для графического решения неравенства $4 - 3x \le x + 2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 4 - 3x$ и $y_2 = x + 2$.

График функции $y_1 = 4 - 3x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например:
при $x=0$, $y_1 = 4 - 3(0) = 4$. Точка $(0; 4)$.
при $x=2$, $y_1 = 4 - 3(2) = -2$. Точка $(2; -2)$.

График функции $y_2 = x + 2$ — это также прямая. Для ее построения также найдем две точки:
при $x=0$, $y_2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
при $x=2$, $y_2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(2; 4)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y_1$ лежит не выше (то есть ниже или на том же уровне, что и) графика функции $y_2$.

Для определения этой области найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение $y_1 = y_2$:

$4 - 3x = x + 2$

$4 - 2 = x + 3x$

$2 = 4x$

$x = 0.5$

Графики пересекаются в точке с абсциссой $x=0.5$. Прямая $y_1 = 4 - 3x$ является убывающей, а прямая $y_2 = x + 2$ — возрастающей. Следовательно, график $y_1$ находится не выше графика $y_2$ при всех значениях $x$, которые больше или равны абсциссе точки пересечения.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

б)

Для графического решения уравнения $x^2 - 2x = -x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = -x$.

График функции $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину и нули:

Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1; -1)$.

Нули функции: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

График функции $y_2 = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1; -1)$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; -1)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $1$.

Ответ: $0; 1$.

в)

Для графического решения уравнения $\frac{1}{x} = 4x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{1}{x}$ и $y_2 = 4x$.

График функции $y_1 = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(1; 1)$, $(0.5; 2)$, $(-1; -1)$, $(-0.5; -2)$.

График функции $y_2 = 4x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Она проходит, например, через точки $(1; 4)$ и $(-1; -4)$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков. Из чертежа видно, что есть две точки пересечения, симметричные относительно начала координат. Найдем их абсциссы, решив уравнение:

$\frac{1}{x} = 4x$ (при $x \ne 0$)

$1 = 4x^2$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_1 = 0.5$, $x_2 = -0.5$

Ответ: $-0.5; 0.5$.

г)

Для графического решения неравенства $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 + 2x + 2$ и $y_2 = x + 1$.

График функции $y_1 = x^2 + 2x + 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $y_1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Вершина параболы находится в точке $(-1; 1)$.

График функции $y_2 = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы $y_1$ расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика прямой $y_2$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = x + 1$:

$x^2 + x + 1 = 0$

Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются.
Вершина параболы $(-1; 1)$ лежит выше прямой $y_2 = x + 1$ (в точке $x=-1$ значение прямой $y_2(-1) = -1+1=0$). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает прямую, вся парабола расположена выше прямой.

Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

90. a) $x^3 = \frac{8}{x-1}$;

б) $|1-x| = 2-|x|$;

в) $x^3 = \frac{1}{x}$;

г) $|x-1| = 3-|x|$.

а)
Решим уравнение $x^3 = \frac{8}{x-1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на $(x-1)$:
$x^3(x-1) = 8$
$x^4 - x^3 - 8 = 0$
Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-8): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Подставим $x=2$:
$2^4 - 2^3 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^4 - x^3 - 8$ на двучлен $(x-2)$. Это можно сделать, например, делением столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получаем:
$(x-2)(x^3 + x^2 + 2x + 4) = 0$.
Теперь необходимо решить уравнение $x^3 + x^2 + 2x + 4 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 + x^2 + 2x + 4$. Ее производная $g'(x) = 3x^2 + 2x + 2$.
Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + 2x + 2$ равен $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($3>0$), производная $g'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает.
Следовательно, уравнение $g(x)=0$ может иметь не более одного действительного корня.
Найдем значение функции в некоторых точках, чтобы определить интервал, где находится корень:
$g(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + 2(-2) + 4 = -8 + 4 - 4 + 4 = -4$.
$g(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + 2(-1) + 4 = -1 + 1 - 2 + 4 = 2$.
Так как функция непрерывна и меняет знак на интервале $(-2, -1)$, она имеет на этом интервале единственный корень. Этот корень является иррациональным.
Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $x=2$; второй корень является решением уравнения $x^3 + x^2 + 2x + 4 = 0$ и лежит в интервале $(-2, -1)$.

б)
Решим уравнение $|1-x| = 2 - |x|$.
Перенесем $|x|$ в левую часть и воспользуемся свойством $|1-x| = |x-1|$:
$|x-1| + |x| = 2$.
Для раскрытия модулей применим метод интервалов. Контрольные точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.

1) При $x \le 0$:
В этом случае $|x| = -x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + (-x) = 2$
$1 - 2x = 2$
$-2x = 1$
$x = -1/2$.
Корень $x = -1/2$ удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, является решением.

2) При $0 < x \le 1$:
В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + x = 2$
$1 = 2$.
Получено неверное равенство, следовательно, в данном интервале решений нет.

3) При $x > 1$:
В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x-1) + x = 2$
$2x - 1 = 2$
$2x = 3$
$x = 3/2$.
Корень $x = 3/2$ удовлетворяет условию $x > 1$, значит, является решением.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = 3/2$.

в)
Решим уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$x^3 \cdot x = 1$
$x^4 = 1$
$x^4 - 1 = 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$.
Еще раз применим формулу разности квадратов к первому множителю:
$(x-1)(x+1)(x^2+1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x-1 = 0 \implies x=1$.
2) $x+1 = 0 \implies x=-1$.
3) $x^2+1 = 0 \implies x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Оба найденных корня $x=1$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm 1$.

г)
Решим уравнение $|x-1| = 3 - |x|$.
Перенесем $|x|$ в левую часть:
$|x-1| + |x| = 3$.
Как и в задании б), применим метод интервалов с контрольными точками $x=0$ и $x=1$.

1) При $x \le 0$:
$|x| = -x$ и $|x-1| = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + (-x) = 3$
$1 - 2x = 3$
$-2x = 2$
$x = -1$.
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

2) При $0 < x \le 1$:
$|x| = x$ и $|x-1| = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + x = 3$
$1 = 3$.
Неверное равенство, решений в этом интервале нет.

3) При $x > 1$:
$|x| = x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x-1) + x = 3$
$2x - 1 = 3$
$2x = 4$
$x = 2$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.

91. График функции $y = ax + b$ проходит через точки $A (2; 1)$, $B (5; 10)$. Найдите $a$ и $b$.

Поскольку график функции $y = ax + b$ проходит через точки A(2; 1) и B(5; 10), то координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки A(2; 1) в уравнение $y = ax + b$. Здесь $x = 2$ и $y = 1$:
$1 = a \cdot 2 + b$
$2a + b = 1$

2. Подставим координаты точки B(5; 10) в уравнение $y = ax + b$. Здесь $x = 5$ и $y = 10$:
$10 = a \cdot 5 + b$
$5a + b = 10$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$\{ \begin{array}{l} 2a + b = 1 \\ 5a + b = 10 \end{array}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $b$:
$(5a + b) - (2a + b) = 10 - 1$
$5a + b - 2a - b = 9$
$3a = 9$
$a = \frac{9}{3}$
$a = 3$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $b$. Воспользуемся первым уравнением: $2a + b = 1$.
$2 \cdot (3) + b = 1$
$6 + b = 1$
$b = 1 - 6$
$b = -5$

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов: $a=3$ и $b=-5$.

Ответ: $a = 3$, $b = -5$.

92. По графику квадратичной функции (рис. 152) определите знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$ и дискриминанта $D$.

а) б) в) г) д) е) Рис. 152

Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ и дискриминанта $D$ квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ по ее графику (параболе) используются следующие правила:

1. Знак коэффициента $a$: Если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.
2. Знак коэффициента $c$: Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если точка пересечения выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже — $c < 0$; если в начале координат — $c = 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Знак $b$ связан с абсциссой вершины параболы $x_0 = -b/(2a)$. Отсюда $b = -2ax_0$. Знак $b$ противоположен знаку $a$, если вершина находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), и совпадает со знаком $a$, если вершина в левой полуплоскости ($x_0 < 0$). Если вершина на оси $Oy$ ($x_0=0$), то $b=0$.
4. Знак дискриминанта $D$: Знак $D=b^2-4ac$ определяется по количеству точек пересечения параболы с осью $Ox$. Если парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках, то $D > 0$. Если она касается оси $Ox$ в одной точке (в вершине), то $D = 0$. Если парабола не имеет общих точек с осью $Ox$, то $D < 0$.

Применим эти правила для каждого из представленных графиков.

а)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a > 0$, то $b < 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

б)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит в начале координат, значит $c = 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a < 0$, то $b > 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c = 0, D > 0$.

в)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y > 0$, значит $c > 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a > 0$, то $b < 0$. Парабола не имеет пересечений с осью $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0, D < 0$.

г)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a < 0$, то и $b < 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

д)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a < 0$, то и $b < 0$. Парабола не имеет пересечений с осью $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D < 0$.

е)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y > 0$, значит $c > 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a > 0$, то и $b > 0$. Парабола касается оси $Ox$ в одной точке, следовательно, $D = 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0, D = 0$.

93. Может ли линейная или квадратичная функция быть:

а) четкой;

б) нечетной;

в) периодической?

а) четкой

Рассмотрим сначала линейную функцию общего вида $f(x) = kx + b$. Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = k(-x) + b = -kx + b$. Приравняем $f(-x)$ и $f(x)$: $-kx + b = kx + b$ $2kx = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $2k=0$, откуда $k=0$. Если $k=0$, линейная функция принимает вид $f(x) = b$. Это функция-константа, график которой — прямая, параллельная оси Ox. Такая функция действительно является четной, так как ее график симметричен относительно оси Oy.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию общего вида $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие четности $g(-x) = g(x)$. Найдем $g(-x)$: $g(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$. Приравняем $g(-x)$ и $g(x)$: $ax^2 - bx + c = ax^2 + bx + c$ $2bx = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только при $b=0$. Таким образом, квадратичная функция является четной, если она имеет вид $g(x) = ax^2 + c$. График такой функции — парабола, симметричная относительно оси Oy.

Ответ: Да, может. Линейная функция является четной, если она является постоянной функцией ($f(x) = b$). Квадратичная функция является четной, если коэффициент при первой степени $x$ равен нулю ($g(x) = ax^2 + c$).

б) нечетной

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Мы уже нашли, что $f(-x) = -kx + b$. Найдем $-f(x)$: $-f(x) = -(kx + b) = -kx - b$. Приравняем $f(-x)$ и $-f(x)$: $-kx + b = -kx - b$ $2b = 0$ $b = 0$ Таким образом, линейная функция является нечетной, если она имеет вид $f(x) = kx$. Это функция прямой пропорциональности, график которой — прямая, проходящая через начало координат и симметричная относительно него.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие нечетности $g(-x) = -g(x)$. Мы уже нашли, что $g(-x) = ax^2 - bx + c$. Найдем $-g(x)$: $-g(x) = -(ax^2 + bx + c) = -ax^2 - bx - c$. Приравняем $g(-x)$ и $-g(x)$: $ax^2 - bx + c = -ax^2 - bx - c$ $2ax^2 + 2c = 0$ $ax^2 + c = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Если мы подставим $x=0$, получим $c=0$. Тогда равенство примет вид $ax^2 = 0$. Так как это должно быть верно для любого $x$, подставим, например, $x=1$, получим $a=0$. Но по определению квадратичной функции $a \neq 0$. Следовательно, мы пришли к противоречию.

Ответ: Да, линейная функция может быть нечетной, если она является функцией прямой пропорциональности ($f(x) = kx$). Квадратичная функция нечетной быть не может.

в) периодической

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Функция называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Найдем $f(x+T)$: $f(x+T) = k(x+T) + b = kx + kT + b$. Приравняем $f(x+T)$ и $f(x)$: $kx + kT + b = kx + b$ $kT = 0$ Так как по определению периода $T \neq 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $k=0$. Если $k=0$, функция принимает вид $f(x) = b$. Это постоянная функция. Любое число $T \neq 0$ является ее периодом, так как $f(x+T) = b$ и $f(x)=b$. Следовательно, линейная функция может быть периодической только если она постоянна.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие периодичности $g(x+T) = g(x)$ для некоторого $T \neq 0$. Найдем $g(x+T)$: $g(x+T) = a(x+T)^2 + b(x+T) + c = a(x^2 + 2xT + T^2) + bx + bT + c = ax^2 + 2axT + aT^2 + bx + bT + c$. Приравняем $g(x+T)$ и $g(x)$: $ax^2 + 2axT + aT^2 + bx + bT + c = ax^2 + bx + c$ $2axT + aT^2 + bT = 0$ $T(2ax + aT + b) = 0$ Так как $T \neq 0$, мы можем разделить обе части на $T$: $2ax + (aT + b) = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это линейное уравнение относительно $x$. Оно может быть тождеством (верным для всех $x$) только в том случае, когда все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент при $x$ равен $2a$. Значит, $2a = 0$, откуда $a=0$. Но это противоречит определению квадратичной функции, для которой $a \neq 0$. Следовательно, квадратичная функция не может быть периодической.

Ответ: Да, линейная функция может быть периодической, если она является постоянной функцией ($f(x) = b$). Квадратичная функция периодической быть не может.

94. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций:

a) $y = \frac{x+1}{|x|}$;

б) $y = x^3 - x|x| + 3$;

в) $y = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$;

г) $y = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$.

Любую функцию $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной функции $y_e(x)$ и нечетной функции $y_o(x)$. Эти функции находятся по формулам:

Четная часть: $y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Нечетная часть: $y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Применим эти формулы для каждой из заданных функций.

а) Дана функция $y = \frac{x+1}{|x|}$.

Обозначим ее как $f(x) = \frac{x+1}{|x|}$. Область определения $D(f): x \neq 0$, является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)+1}{|-x|} = \frac{1-x}{|x|}$.

Теперь найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{|x|} + \frac{1-x}{|x|} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1+1-x}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{|x|} = \frac{1}{|x|}$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{|x|} - \frac{1-x}{|x|} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1-(1-x)}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1-1+x}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{|x|} = \frac{x}{|x|}$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = \frac{1}{|x|} + \frac{x}{|x|} = \frac{1+x}{|x|} = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = \frac{1}{|x|}$, нечетная функция: $y_o(x) = \frac{x}{|x|}$.

б) Дана функция $y = x^3 - x|x| + 3$.

Обозначим ее как $f(x) = x^3 - x|x| + 3$. Область определения $D(f): (-\infty; +\infty)$, является симметричной.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = (-x)^3 - (-x)|-x| + 3 = -x^3 + x|x| + 3$.

Найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{(x^3 - x|x| + 3) + (-x^3 + x|x| + 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{(x^3 - x|x| + 3) - (-x^3 + x|x| + 3)}{2} = \frac{x^3 - x|x| + 3 + x^3 - x|x| - 3}{2} = \frac{2x^3 - 2x|x|}{2} = x^3 - x|x|$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = 3 + (x^3 - x|x|) = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = 3$, нечетная функция: $y_o(x) = x^3 - x|x|$.

в) Дана функция $y = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$.

Обозначим ее как $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$. Область определения $D(f): x \neq \pm 1$, является симметричной.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)^2 - (-x)}{(-x)^4 - 1} = \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1}$.

Найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} + \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3 + x^2 - x - x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^2}{x^4 - 1} = \frac{x^2}{x^4 - 1}$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} - \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3 + x^2 - x + x^3 - x^2 - x}{x^4 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^3 - 2x}{x^4 - 1} = \frac{x^3 - x}{x^4 - 1}$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = \frac{x^2}{x^4 - 1} + \frac{x^3 - x}{x^4 - 1} = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = \frac{x^2}{x^4 - 1}$, нечетная функция: $y_o(x) = \frac{x^3 - x}{x^4 - 1}$.

г) Дана функция $y = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$.

Обозначим ее как $f(x) = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$. Область определения $D(f): (-\infty; +\infty)$, является симметричной.

В случае многочлена можно просто сгруппировать слагаемые с четными и нечетными степенями $x$.

Четная часть состоит из слагаемых с четными степенями ($x^4$ и $x^0$, т.к. $8 = 8x^0$):$y_e(x) = x^4 + 8$.

Нечетная часть состоит из слагаемых с нечетными степенями ($x^5$ и $x^1$):$y_o(x) = 2x^5 - 3x$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = (x^4 + 8) + (2x^5 - 3x) = 2x^5 + x^4 - 3x + 8 = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = x^4 + 8$, нечетная функция: $y_o(x) = 2x^5 - 3x$.

95. Является ли четной или нечетной функция:

а) $y = 5x^6 - 2x^2 - 3;$

б) $y = 4x^5 - 2x^3 + x;$

в) $y = \frac{3}{x^2} + 1;$

г) $y = -\frac{2}{x^3}?$

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить выполнение следующих условий. Функция $y=f(x)$ является четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а) $y = 5x^6 - 2x^2 - 3$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 5x^6 - 2x^2 - 3$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5(-x)^6 - 2(-x)^2 - 3 = 5x^6 - 2x^2 - 3$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = 4x^5 - 2x^3 + x$

Обозначим данную функцию как $f(x) = 4x^5 - 2x^3 + x$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 4(-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) = -4x^5 - (-2x^3) - x = -4x^5 + 2x^3 - x$.

Вынесем знак минус за скобки: $f(-x) = -(4x^5 - 2x^3 + x)$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{3}{x^2} + 1$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{3}{x^2} + 1$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{3}{(-x)^2} + 1 = \frac{3}{x^2} + 1$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = -\frac{2}{x^3}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = -\frac{2}{x^3}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{2}{(-x)^3} = -\frac{2}{-x^3} = \frac{2}{x^3}$.

Теперь найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(-\frac{2}{x^3}) = \frac{2}{x^3}$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

Найдите область определения каждой из функций (96, 97).

96.

a) $y = \frac{2}{\cos^2 x};$

б) $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x};$

в) $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}};$

г) $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}.$

а) Область определения функции $y = \frac{2}{\cos^2 x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, мы должны решить неравенство:

$\cos^2 x \neq 0$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$\cos x \neq 0$

Функция косинус равна нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, где $\cos x = 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x}$ область определения также задается условием, что знаменатель не равен нулю:

$1 + 2 \sin 2x \neq 0$

Преобразуем неравенство:

$2 \sin 2x \neq -1$

$\sin 2x \neq -\frac{1}{2}$

Решим уравнение $\sin t = -\frac{1}{2}$, где $t = 2x$. Общее решение этого уравнения имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$t = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Подставляя обратно $2x$ вместо $t$, находим значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:

$2x \neq (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}}$. Область определения функции определяется условием неравенства знаменателя нулю:

$\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2} \neq 0$

Решим это неравенство:

$\sqrt{3} \cos x \neq \frac{3}{2}$

$\cos x \neq \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим правую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, условие принимает вид:

$\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значения $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находятся по формуле $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то значения, которые нужно исключить, равны:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для функции $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ знаменатель не должен обращаться в ноль:

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \neq 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Применив эту формулу для $\alpha = \frac{x}{2}$, получим:

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \sin x$

Таким образом, исходное условие эквивалентно следующему:

$\frac{1}{2} \sin x \neq 0$

или просто

$\sin x \neq 0$

Функция синус равна нулю в точках $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.