Страница 291 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

97. a) $y = \sqrt{\sin x \cos x}$;

б) $y = \sqrt{x \operatorname{tg} x}$;

в) $y = \sqrt{\sin^2 x - \cos^2 x}$;

г) $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\cos x}}$.

а) $y = \sqrt{\sin x \cos x}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$\sin x \cos x \ge 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{1}{2}\sin(2x) \ge 0$

$\sin(2x) \ge 0$

Функция синус неотрицательна, когда ее аргумент находится в первой или второй четверти, то есть:

$2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sqrt{x \operatorname{tg} x}$

Область определения функции задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и тангенс должен быть определен.

1. $x \operatorname{tg} x \ge 0$

2. $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $x \operatorname{tg} x \ge 0$. Оно выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x \ge 0$ и $\operatorname{tg} x \ge 0$.

$\operatorname{tg} x \ge 0$ при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Учитывая, что $x \ge 0$, выбираем неотрицательные значения $n$ ($n=0, 1, 2, \dots$).

Получаем объединение промежутков: $\bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Случай 2: $x \le 0$ и $\operatorname{tg} x \le 0$.

$\operatorname{tg} x \le 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)]$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Учитывая, что $x \le 0$, выбираем значения $n$, при которых промежутки лежат в области неположительных чисел. Это происходит при $n \le -1$ ($n=-1, -2, \dots$).

Получаем объединение промежутков: $\bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)]$.

Объединяя оба случая, получаем область определения:

$\bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)] \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Ответ: $x \in \bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)] \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

в) $y = \sqrt{\sin^2 x - \cos^2 x}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$\sin^2 x - \cos^2 x \ge 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Тогда $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Неравенство принимает вид:

$-\cos(2x) \ge 0$

$\cos(2x) \le 0$

Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится во второй или третьей четверти, то есть:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}$

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим на единичной окружности:

1. $\sin x \ge 0$ для углов в I и II четвертях. С учетом периодичности, это соответствует промежуткам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x \ge 0$ для углов в I и IV четвертях. С учетом периодичности, это соответствует промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти пересечение этих множеств. Оба неравенства выполняются одновременно только для углов в I четверти (включая ее границы).

Найдем пересечение интервалов при $k=0$: $[0, \pi] \cap [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Пересечением является отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Так как обе функции $\sin x$ и $\cos x$ имеют период $2\pi$, то и решение системы будет повторяться с периодом $2\pi$.

Таким образом, область определения функции задается множеством:

$[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Найдите область значений каждой из функций (98, 99).

98. a) $y = 1 - 3 \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 2 \cos x \operatorname{tg} x$;

в) $y = 2 + 3 \cos 5x$;

г) $y = 2 |\sin x| - 1$.

а) $y = 1 - 3 \sin{\frac{x}{2}}$

Область значений функции синус, независимо от ее аргумента, представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin{\frac{x}{2}} \le 1$

2. Умножим все части неравенства на $-3$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-3) \ge -3 \sin{\frac{x}{2}} \ge 1 \cdot (-3)$
$3 \ge -3 \sin{\frac{x}{2}} \ge -3$
Что то же самое, что:
$-3 \le -3 \sin{\frac{x}{2}} \le 3$

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 3 \le 1 - 3 \sin{\frac{x}{2}} \le 1 + 3$
$-2 \le y \le 4$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-2, 4]$.
Ответ: $E(y) = [-2, 4]$.

б) $y = 2 \cos{x} \ \text{tg}{x}$

1. Сначала определим область определения функции. Тангенс $\text{tg}{x}$ определен как $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$. Следовательно, $\cos{x}$ не должен быть равен нулю:
$\cos{x} \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.

2. Упростим выражение для функции, учитывая область определения:
$y = 2 \cos{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 2 \sin{x}$

3. Теперь нам нужно найти область значений функции $y = 2 \sin{x}$ при условии, что $\cos{x} \neq 0$.
Мы знаем, что $-1 \le \sin{x} \le 1$. Следовательно, для $2 \sin{x}$ диапазон будет $-2 \le 2 \sin{x} \le 2$.

4. Однако, мы должны учесть ограничение $\cos{x} \neq 0$. Значения $\sin{x} = 1$ и $\sin{x} = -1$ достигаются только тогда, когда $\cos{x} = 0$. Поскольку эти точки исключены из области определения, функция $y = 2 \sin{x}$ никогда не достигнет значений $2 \cdot 1 = 2$ и $2 \cdot (-1) = -2$. Она может только стремиться к ним.

Следовательно, значения функции находятся в интервале $(-2, 2)$.
Ответ: $E(y) = (-2, 2)$.

в) $y = 2 + 3 \cos{5x}$

Область значений функции косинус, независимо от ее аргумента, представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos{5x} \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le 3 \cos{5x} \le 3$

3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$2 - 3 \le 2 + 3 \cos{5x} \le 2 + 3$
$-1 \le y \le 5$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-1, 5]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 5]$.

г) $y = 2 |\sin{x}| - 1$

1. Область значений функции $f(x) = \sin{x}$ есть отрезок $[-1, 1]$.
$-1 \le \sin{x} \le 1$

2. Применим операцию взятия модуля. Модуль любого числа из отрезка $[-1, 1]$ будет находиться на отрезке $[0, 1]$.
$0 \le |\sin{x}| \le 1$

3. Умножим все части неравенства на 2:
$0 \cdot 2 \le 2 |\sin{x}| \le 1 \cdot 2$
$0 \le 2 |\sin{x}| \le 2$

4. Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0 - 1 \le 2 |\sin{x}| - 1 \le 2 - 1$
$-1 \le y \le 1$

Таким образом, область значений функции – это отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.