Страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вычислите (58, 59).

58. a) $\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha$, если $\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\frac{1-2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\sin \alpha}$, если $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = m$;

в) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}$;

г) $\sin \alpha$, $\cos 2\alpha$, $\cos \frac{\alpha}{2}$, если $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{2}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

а) Чтобы найти значение выражения $cos^4 \alpha + sin^4 \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой квадрата суммы.
Преобразуем выражение:
$cos^4 \alpha + sin^4 \alpha = (cos^2 \alpha)^2 + (sin^2 \alpha)^2 = (cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)^2 - 2 sin^2 \alpha cos^2 \alpha$.
Так как $cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$, получаем:
$1^2 - 2 sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 1 - 2 (sin \alpha cos \alpha)^2$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$, откуда $sin \alpha cos \alpha = \frac{sin 2\alpha}{2}$.
Подставим это в наше выражение:
$1 - 2 \left(\frac{sin 2\alpha}{2}\right)^2 = 1 - 2 \frac{sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{sin^2 2\alpha}{2}$.
По условию $sin 2\alpha = \frac{2}{3}$. Подставляем это значение:
$1 - \frac{(\frac{2}{3})^2}{2} = 1 - \frac{\frac{4}{9}}{2} = 1 - \frac{4}{18} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

б) Упростим данное выражение $\frac{1-2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\sin \alpha}$.
В числителе используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$. Применив ее для $x = \frac{\alpha}{2}$, получаем:
$1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = cos \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = cos \alpha$.
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{cos \alpha}{1 + sin \alpha}$.
Теперь воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой, выразив $sin \alpha$ и $cos \alpha$ через $tg \frac{\alpha}{2} = m$:
$sin \alpha = \frac{2 tg \frac{\alpha}{2}}{1 + tg^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2m}{1+m^2}$
$cos \alpha = \frac{1 - tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + tg^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-m^2}{1+m^2}$
Подставим эти выражения в нашу дробь:
$\frac{\frac{1-m^2}{1+m^2}}{1 + \frac{2m}{1+m^2}} = \frac{\frac{1-m^2}{1+m^2}}{\frac{1+m^2+2m}{1+m^2}} = \frac{1-m^2}{(1+m)^2}$.
Разложим числитель на множители как разность квадратов: $1-m^2 = (1-m)(1+m)$.
$\frac{(1-m)(1+m)}{(1+m)^2} = \frac{1-m}{1+m}$.
Ответ: $\frac{1-m}{1+m}$.

в) Дано уравнение $sin \alpha \cdot tg \alpha = \frac{1}{2}$. Требуется найти $cos \alpha$.
Заменим $tg \alpha$ на $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:
$sin \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{1}{2}$
$\frac{sin^2 \alpha}{cos \alpha} = \frac{1}{2}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$:
$\frac{1 - cos^2 \alpha}{cos \alpha} = \frac{1}{2}$.
Пусть $x = cos \alpha$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1-x^2}{x} = \frac{1}{2}$.
Решим это уравнение:
$2(1-x^2) = x$
$2 - 2x^2 = x$
$2x^2 + x - 2 = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-2) = 1 + 16 = 17$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Таким образом, мы получили два возможных значения для $cos \alpha$: $\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ и $\frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$.
Значение косинуса должно лежать в промежутке $[-1, 1]$.
Проверим первое значение: $4 < \sqrt{17} < 5$, поэтому $3 < -1+\sqrt{17} < 4$, и $\frac{3}{4} < \frac{-1+\sqrt{17}}{4} < 1$. Это значение подходит.
Проверим второе значение: $-5 < -\sqrt{17} < -4$, поэтому $-6 < -1-\sqrt{17} < -5$, и $-\frac{3}{2} < \frac{-1-\sqrt{17}}{4} < -\frac{5}{4}$. Это значение меньше -1, поэтому оно не является решением.
Следовательно, единственное возможное значение $cos \alpha = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{17}-1}{4}$.

г) Дано: $tg \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{2}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
1. Найдем $sin \alpha$. Используем формулу универсальной подстановки:
$sin \alpha = \frac{2 tg \frac{\alpha}{2}}{1 + tg^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2(-\sqrt{2})}{1 + (-\sqrt{2})^2} = \frac{-2\sqrt{2}}{1+2} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
2. Найдем $cos 2\alpha$. Сначала найдем $cos \alpha$:
$cos \alpha = \frac{1 - tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + tg^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - (-\sqrt{2})^2}{1 + (-\sqrt{2})^2} = \frac{1-2}{1+2} = -\frac{1}{3}$.
Условие $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ соответствует III четверти, где $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha < 0$, что совпадает с нашими результатами.
Теперь вычислим $cos 2\alpha$ по формуле $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1$:
$cos 2\alpha = 2\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.
3. Найдем $cos \frac{\alpha}{2}$. Используем формулу понижения степени: $cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1+cos \alpha}{2}$.
$cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$.
Отсюда $cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Чтобы выбрать знак, определим четверть, в которой находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ следует, что $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Это II четверть, где косинус отрицателен.
Следовательно, $cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $cos 2\alpha = -\frac{7}{9}$, $cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

59. a) $\lg \operatorname{tg} 1^\circ + \lg \operatorname{tg} 2^\circ + \dots + \lg \operatorname{tg} 89^\circ;$

б) $\lg \operatorname{tg} 1^\circ \cdot \lg \operatorname{tg} 2^\circ \cdot \dots \cdot \lg \operatorname{tg} 89^\circ.$

a)

Рассмотрим сумму логарифмов: $S = \lg \tg 1^\circ + \lg \tg 2^\circ + \dots + \lg \tg 89^\circ$.
Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения. $$ \lg a + \lg b = \lg(a \cdot b) $$ Применив это свойство ко всей сумме, получим: $$ S = \lg(\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \dots \cdot \tg 89^\circ) $$ Теперь рассмотрим произведение под знаком логарифма. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $$ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha $$ А также тем, что $\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$.
Сгруппируем множители в произведении парами: первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

• $\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ = \tg 1^\circ \cdot \tg(90^\circ - 1^\circ) = \tg 1^\circ \cdot \ctg 1^\circ = 1$
• $\tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ = \tg 2^\circ \cdot \tg(90^\circ - 2^\circ) = \tg 2^\circ \cdot \ctg 2^\circ = 1$
• ...
• $\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ = \tg 44^\circ \cdot \tg(90^\circ - 44^\circ) = \tg 44^\circ \cdot \ctg 44^\circ = 1$

Всего в последовательности 89 членов. Таким образом, у нас будет 44 такие пары, произведение каждой из которых равно 1. В центре последовательности останется один член без пары: $\tg 45^\circ$.
Мы знаем, что $\tg 45^\circ = 1$.
Следовательно, все произведение под знаком логарифма равно: $$ (\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ) \cdot (\tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ) \cdot \dots \cdot (\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ) \cdot \tg 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$ Подставим это значение обратно в исходное выражение: $$ S = \lg(1) $$ Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. $$ S = 0 $$

Ответ: 0

б)

Рассмотрим произведение: $M = \lg \tg 1^\circ \cdot \lg \tg 2^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 89^\circ$.
Это произведение состоит из 89 множителей вида $\lg \tg \alpha$, где $\alpha$ принимает целочисленные значения от 1 до 89.
Найдем в этой последовательности множитель для $\alpha = 45^\circ$: $$ \lg \tg 45^\circ $$ Известно, что значение тангенса 45 градусов равно 1: $$ \tg 45^\circ = 1 $$ Тогда этот множитель равен: $$ \lg \tg 45^\circ = \lg(1) = 0 $$ Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, все произведение равно нулю. $$ M = (\lg \tg 1^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 44^\circ) \cdot (0) \cdot (\lg \tg 46^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 89^\circ) = 0 $$

Ответ: 0

60. Сравните число с нулем:

a) $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \operatorname{tg} 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ;$

б) $\lg \operatorname{tg} 2^\circ + \lg \operatorname{tg} 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ.$

а) Сравним с нулем выражение $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Для этого определим знак каждого множителя. Знак десятичного логарифма $\lg x$ определяется значением его аргумента $x$: если $x > 1$, то $\lg x > 0$; если $0 < x < 1$, то $\lg x < 0$. Все углы в данном выражении находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), поэтому значения всех тригонометрических функций положительны.

1. Определим знак $\lg \sin 32^\circ$. Так как $0^\circ < 32^\circ < 90^\circ$, то $0 < \sin 32^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \sin 32^\circ < 0$ (отрицательный).

2. Определим знак $\lg \cos 7^\circ$. Так как $0^\circ < 7^\circ < 90^\circ$, то $0 < \cos 7^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \cos 7^\circ < 0$ (отрицательный).

3. Определим знак $\lg \tg 40^\circ$. Так как $0^\circ < 40^\circ < 45^\circ$, то $0 < \tg 40^\circ < \tg 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \tg 40^\circ < 0$ (отрицательный).

4. Определим знак $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 20^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ > 0$ (положительный).

В произведении три отрицательных множителя и один положительный. Произведение нечетного числа отрицательных сомножителей является отрицательным числом. Таким образом, $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ < 0$.

б) Сравним с нулем выражение $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ$.

Воспользуемся свойством логарифма: сумма логарифмов равна логарифму произведения их аргументов ($\lg a + \lg b = \lg(ab)$). Применим это свойство ко всему выражению:

$\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = \lg(\tg 2^\circ \cdot \tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ)$

Сгруппируем множители внутри логарифма:

$\lg((\tg 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ) \cdot (\tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ))$

Используя тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$, получаем:

$\lg(1 \cdot 1) = \lg(1)$

Значение десятичного логарифма от единицы равно нулю, $\lg 1 = 0$.

Следовательно, исходное выражение равно нулю.

Ответ: $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = 0$.

61. Найдите сумму $tg^2 \frac{x}{2} + tg^2 \frac{y}{2} + tg^2 \frac{z}{2}$, если

$ \cos x = \frac{a}{b+c}, \cos y = \frac{b}{c+a}, \cos z = \frac{c}{a+b}, a+b+c \neq 0.$

Для нахождения суммы воспользуемся тригонометрической формулой, выражающей квадрат тангенса половинного угла через косинус целого угла:

$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Применим эту формулу для каждого слагаемого и подставим заданные в условии значения косинусов.

Для первого слагаемого $\text{tg}^2 \frac{x}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \frac{a}{b+c}}{1 + \frac{a}{b+c}} = \frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{b+c+a}{b+c}} = \frac{b+c-a}{a+b+c}$

Для второго слагаемого $\text{tg}^2 \frac{y}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{y}{2} = \frac{1 - \cos y}{1 + \cos y} = \frac{1 - \frac{b}{c+a}}{1 + \frac{b}{c+a}} = \frac{\frac{c+a-b}{c+a}}{\frac{c+a+b}{c+a}} = \frac{c+a-b}{a+b+c}$

Для третьего слагаемого $\text{tg}^2 \frac{z}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{1 - \cos z}{1 + \cos z} = \frac{1 - \frac{c}{a+b}}{1 + \frac{c}{a+b}} = \frac{\frac{a+b-c}{a+b}}{\frac{a+b+c}{a+b}} = \frac{a+b-c}{a+b+c}$

Теперь найдем искомую сумму, сложив полученные выражения:

$S = \text{tg}^2 \frac{x}{2} + \text{tg}^2 \frac{y}{2} + \text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{b+c-a}{a+b+c} + \frac{c+a-b}{a+b+c} + \frac{a+b-c}{a+b+c}$

Так как все дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$S = \frac{(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c)}{a+b+c}$

Упростим выражение в числителе, сгруппировав подобные слагаемые:

$S = \frac{(-a+a+a) + (b-b+b) + (c+c-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c}$

По условию задачи $a+b+c \neq 0$, следовательно, мы можем сократить дробь:

$S = 1$

Ответ: 1

62. a) $3^{400}$ и $4^{300}$;

б) $-\log_{5} \frac{1}{5}$ и $7^{\log_{3} 1}$;

в) $5^{200}$ и $2^{500}$;

г) $\log_{4} \sqrt{2}$ и $\log_{3} \frac{1}{81}$.

а) Чтобы сравнить числа $3^{400}$ и $4^{300}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 400 и 300 равен 100.
Представим первое число как степень с показателем 100: $3^{400} = 3^{4 \cdot 100} = (3^4)^{100} = 81^{100}$.
Представим второе число как степень с показателем 100: $4^{300} = 4^{3 \cdot 100} = (4^3)^{100} = 64^{100}$.
Теперь сравним основания полученных степеней: $81$ и $64$.
Так как $81 > 64$, то и $81^{100} > 64^{100}$.
Следовательно, $3^{400} > 4^{300}$.
Ответ: $3^{400} > 4^{300}$.

б) Упростим каждое выражение.
Рассмотрим первое выражение: $-\log_5 \frac{1}{5}$.
Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $-\log_5 \frac{1}{5} = -\log_5(5^{-1})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^p) = p \log_a b$, получаем: $-(-1 \cdot \log_5 5)$.
Поскольку $\log_5 5 = 1$, выражение равно $-(-1) = 1$.
Рассмотрим второе выражение: $7^{\log_3 1}$.
По определению логарифма, $\log_3 1 = 0$, так как $3^0=1$.
Тогда выражение принимает вид $7^0$, что равно $1$.
Сравнивая результаты, получаем $1 = 1$.
Следовательно, $-\log_5 \frac{1}{5} = 7^{\log_3 1}$.
Ответ: $-\log_5 \frac{1}{5} = 7^{\log_3 1}$.

в) Чтобы сравнить числа $5^{200}$ и $2^{500}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 200 и 500 равен 100.
Представим первое число: $5^{200} = 5^{2 \cdot 100} = (5^2)^{100} = 25^{100}$.
Представим второе число: $2^{500} = 2^{5 \cdot 100} = (2^5)^{100} = 32^{100}$.
Теперь сравним основания $25$ и $32$.
Так как $25 < 32$, то и $25^{100} < 32^{100}$.
Следовательно, $5^{200} < 2^{500}$.
Ответ: $5^{200} < 2^{500}$.

г) Упростим каждое выражение.
Рассмотрим первое выражение: $\log_4 \sqrt{2}$.
Представим основание 4 и аргумент $\sqrt{2}$ в виде степеней с основанием 2: $4 = 2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Получаем $\log_4 \sqrt{2} = \log_{2^2} (2^{1/2})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$, имеем: $\frac{1/2}{2} \log_2 2 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
Рассмотрим второе выражение: $\log_3 \frac{1}{81}$.
Представим аргумент $\frac{1}{81}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Тогда $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 (3^{-4})$.
Используя свойство $\log_a(a^p) = p$, получаем $-4$.
Теперь сравним полученные значения: $\frac{1}{4}$ и $-4$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, $\frac{1}{4} > -4$.
Следовательно, $\log_4 \sqrt{2} > \log_3 \frac{1}{81}$.
Ответ: $\log_4 \sqrt{2} > \log_3 \frac{1}{81}$.

63. a) $\log_3 2 + \log_3 7$ и $\log_3 (2 + 7);$

б) $\log_4 5 - \log_4 3$ и $\log_4 (5 - 3);$

в) $3 \log_7 2$ и $\log_7 (3 - 2);$

г) $\log_3 1,5 + \log_3 2$ и $\log_3 1,5^2.$

а) Для решения данной задачи сравним два выражения: $ \log_3 2 + \log_3 7 $ и $ \log_3 (2 + 7) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_3 2 + \log_3 7 = \log_3 (2 \cdot 7) = \log_3 14 $.

Преобразуем второе выражение, выполнив сложение в скобках:

$ \log_3 (2 + 7) = \log_3 9 $.

Теперь сравним полученные выражения: $ \log_3 14 $ и $ \log_3 9 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравнивая аргументы, получаем $ 14 > 9 $, следовательно, $ \log_3 14 > \log_3 9 $.

Ответ: $ \log_3 2 + \log_3 7 > \log_3 (2 + 7) $.

б) Сравним выражения $ \log_4 5 - \log_4 3 $ и $ \log_4 (5 - 3) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $:

$ \log_4 5 - \log_4 3 = \log_4 (5/3) $.

Преобразуем второе выражение, выполнив вычитание в скобках:

$ \log_4 (5 - 3) = \log_4 2 $.

Теперь сравним $ \log_4 (5/3) $ и $ \log_4 2 $.

Основание логарифма $ 4 > 1 $, поэтому функция $ y = \log_4 x $ возрастающая.

Сравним аргументы: $ 5/3 $ и $ 2 $. Так как $ 5/3 \approx 1.67 $, то $ 2 > 5/3 $.

Следовательно, $ \log_4 2 > \log_4 (5/3) $.

Ответ: $ \log_4 5 - \log_4 3 < \log_4 (5 - 3) $.

в) Сравним выражения $ 3 \log_7 2 $ и $ \log_7 (3 - 2) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство степени логарифма $ n \log_a b = \log_a (b^n) $:

$ 3 \log_7 2 = \log_7 (2^3) = \log_7 8 $.

Преобразуем второе выражение, выполнив вычитание в скобках:

$ \log_7 (3 - 2) = \log_7 1 $.

По определению логарифма, $ \log_a 1 = 0 $, поэтому $ \log_7 1 = 0 $.

Теперь сравним $ \log_7 8 $ и $ \log_7 1 $.

Основание логарифма $ 7 > 1 $, функция $ y = \log_7 x $ возрастающая.

Так как $ 8 > 1 $, то $ \log_7 8 > \log_7 1 $.

Ответ: $ 3 \log_7 2 > \log_7 (3 - 2) $.

г) Сравним выражения $ \log_3 1,5 + \log_3 2 $ и $ \log_3 1,5^2 $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство суммы логарифмов:

$ \log_3 1,5 + \log_3 2 = \log_3 (1,5 \cdot 2) = \log_3 3 $.

Известно, что $ \log_a a = 1 $, поэтому $ \log_3 3 = 1 $.

Преобразуем второе выражение, возведя число в степень:

$ \log_3 1,5^2 = \log_3 2,25 $.

Теперь сравним $ \log_3 3 $ и $ \log_3 2,25 $.

Основание логарифма $ 3 > 1 $, функция $ y = \log_3 x $ возрастающая.

Так как $ 3 > 2,25 $, то $ \log_3 3 > \log_3 2,25 $.

Ответ: $ \log_3 1,5 + \log_3 2 > \log_3 1,5^2 $.

64. Упростите выражение:

а) $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} + 25^{\log_{125} 8};$

б) $2^{4 \log_4 a} - 5^{\frac{1}{2} \log_{\sqrt{5}} a} - a^0$

а)

Для упрощения выражения $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}$ разобьем его на два слагаемых и упростим каждое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}}$

Найдем значение числителя: $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Теперь упростим знаменатель $81^{\frac{1}{2}\log_9 4}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $k \log_b x = \log_b x^k$:

$\frac{1}{2}\log_9 4 = \log_9 4^{\frac{1}{2}} = \log_9 \sqrt{4} = \log_9 2$

Тогда знаменатель становится $81^{\log_9 2}$. Представим основание степени 81 как степень числа 9 ($81 = 9^2$) и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$81^{\log_9 2} = (9^2)^{\log_9 2} = 9^{2\log_9 2} = 9^{\log_9 2^2} = 9^{\log_9 4} = 4$

Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{3}{4}$.

2. Упростим второе слагаемое: $25^{\log_{125} 8}$.
Приведем основание степени (25) и основание логарифма (125) к одному основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Аргумент логарифма $8 = 2^3$.

$25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 2^3}$

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n}\log_a b$:

$\log_{5^3} 2^3 = \frac{3}{3}\log_5 2 = \log_5 2$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

3. Сложим полученные результаты:

$\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$

Ответ: $\frac{19}{4}$.

б)

Для упрощения выражения $2^{4\log_4 a} - 5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} - a^0$ упростим каждое его слагаемое. Заметим, что область допустимых значений для переменной $a$ — $a > 0$.

1. Упростим первое слагаемое: $2^{4\log_4 a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $2 = \sqrt{4} = 4^{1/2}$, можно записать:

$2^{4\log_4 a} = (4^{1/2})^{4\log_4 a} = 4^{\frac{1}{2} \cdot 4\log_4 a} = 4^{2\log_4 a}$

Используя свойство $k \log_b x = \log_b x^k$, а затем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b x} = x$:

$4^{2\log_4 a} = 4^{\log_4 a^2} = a^2$

2. Упростим второе слагаемое: $5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $5 = (\sqrt{5})^2$:

$5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = ((\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a}$

По основному логарифмическому тождеству:

$(\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a} = a$

3. Упростим третье слагаемое: $a^0$.
Любое положительное число в нулевой степени равно единице. Так как $a>0$, то $a^0 = 1$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$a^2 - a - 1$

Ответ: $a^2 - a - 1$.

65. Запишите число в виде десятичной дроби:

а) $49^{1-\log_7 2} + 5;$

б) $36^{\frac{1}{2}-\log_6 5} + 2^{-\log_2 10}$.

а) $49^{1-\log_7 2} + 5$

Для решения данного выражения, преобразуем его по частям, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Рассмотрим первое слагаемое $49^{1-\log_7 2}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$49^{1-\log_7 2} = \frac{49^1}{49^{\log_7 2}}$

2. Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что основание степени 49 можно представить как $7^2$. Это удобно, так как основание логарифма равно 7.

$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2}$

3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b a^k$:

$7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$

5. Теперь используем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$:

$7^{\log_7 4} = 4$

6. Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{49}{49^{\log_7 2}} = \frac{49}{4} = 12.5$

7. Теперь выполним сложение с числом 5:

$12.5 + 5 = 17.5$

Ответ: 17.5

б) $36^{\frac{1}{2} - \log_6 5} + 2^{-\log_2 10}$

Решим это выражение, вычислив значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Преобразуем первое слагаемое $36^{\frac{1}{2} - \log_6 5}$. По свойству степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$36^{\frac{1}{2} - \log_6 5} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{36^{\log_6 5}}$

Числитель: $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

Знаменатель: $36^{\log_6 5}$. Представим 36 как $6^2$ и применим свойства степеней и логарифмов, как в пункте а):

$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$

По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$:

$6^{\log_6 25} = 25$

Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{6}{25}$.

2. Преобразуем второе слагаемое $2^{-\log_2 10}$. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-\log_2 10} = \frac{1}{2^{\log_2 10}}$

Применяя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, получаем:

$\frac{1}{2^{\log_2 10}} = \frac{1}{10}$

3. Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{6}{25} + \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 50:

$\frac{6 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{12}{50} + \frac{5}{50} = \frac{17}{50}$

4. Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{17}{50} = \frac{17 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{34}{100} = 0.34$

Ответ: 0.34