Страница 283 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

50. а) $\frac{x-1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{x^{0,5}+1}{x^{1,5}-1} + \frac{2}{x^{-0,5}};$

б) $\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - \frac{ab}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right) : \frac{(ab)^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{2}}}{a-b};$

в) $\left(\frac{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{3x}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\right);$

г) $\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2c^{\frac{1}{2}}}{c^2} + \frac{c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}}\right) \cdot \left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}.$

а)

Упростим данное выражение по действиям. Сначала выполним деление, а затем сложение.

1. Упростим частное: $ \frac{x-1}{x + x^{\frac{1}{2}} + 1} : \frac{x^{0.5} + 1}{x^{1.5} - 1} $. Заменим деление умножением на обратную дробь. Используем формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Заметим, что $x-1 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)$. Также $x^{1.5}-1 = (x^{\frac{1}{2}})^3 - 1^3 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$. Подставим разложения в выражение: $ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x + x^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)}{x^{0.5} + 1} $. Сократим общие множители $(x^{\frac{1}{2}}+1)$ и $(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$: $ (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}-1) = (x^{\frac{1}{2}}-1)^2 $.

2. Упростим второе слагаемое: $ \frac{2}{x^{-0.5}} = 2x^{0.5} $.

3. Сложим результаты первого и второго действий: $ (x^{\frac{1}{2}}-1)^2 + 2x^{0.5} $. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 + 2x^{0.5} = x - 2x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2x^{\frac{1}{2}} = x+1 $.

Ответ: $x+1$

б)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю.

1. $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - \frac{ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}) - ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $. Раскроем скобки в числителе: $ \frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + ab - ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

2. Теперь выполним деление. Заменим его умножением на обратную дробь: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} : \frac{(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a-b} = \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a-b}{(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}} $. Разложим на множители числитель второй дроби $a-b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})$. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b^{\frac{1}{4}}$: $(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$. Выражение примет вид: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Сократим $a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Разложим $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Сократим $a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}}} = ab^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) = ab^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) $. Раскроем скобки: $ a(b^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}) = a((ab)^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}) = a(ab)^{\frac{1}{4}} + ab^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $a(ab)^{\frac{1}{4}} + ab^{\frac{1}{2}}$

в)

Упростим каждый множитель по отдельности.

1. Первый множитель: $ (\frac{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{3x})^{-1} = \frac{3x}{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} $. В знаменателе вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки: $ \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})} = \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $.

2. Второй множитель (выражение в скобках): $ \frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $. Упростим первую дробь: $ \frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} $. Упростим вторую дробь: $ \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}} $. Выполним вычитание: $ \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y - x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $ $ = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y - x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{y^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $.

3. Перемножим упрощенные выражения: $ \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $. Сократим общие множители $ (2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $ и $x^{\frac{1}{2}}$, получим $3y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $3y^{\frac{1}{2}}$

г)

Упростим выражение в первых скобках, а затем выполним умножение.

1. В первых скобках сгруппируем первое и третье слагаемые, так как у них общий знаменатель: $ \frac{1-c^{-2}}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} + \frac{c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} = \frac{1-c^{-2}+c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} = \frac{1-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} $. Упростим знаменатель: $ c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{c^{\frac{1}{2}}} = \frac{c-1}{c^{\frac{1}{2}}} $. Тогда дробь равна: $ \frac{1-c}{(c-1)/c^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(c-1)c^{\frac{1}{2}}}{c-1} = -c^{\frac{1}{2}} $. Выражение в первых скобках примет вид: $ -c^{\frac{1}{2}} - \frac{2c^{\frac{1}{2}}}{c^2} $. Вынесем общий множитель $-c^{\frac{1}{2}}$ за скобки: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2}) $.

2. Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2}) \cdot (1 + \frac{2}{c^2})^{-2} $. Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получим: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2})^{1-2} = -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2})^{-1} $.

3. Запишем выражение с положительным показателем степени и упростим: $ -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{c^2}} = -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{c^2+2}{c^2}} = -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{c^2}{c^2+2} = \frac{-c^{\frac{1}{2}}c^2}{c^2+2} = -\frac{c^{2+\frac{1}{2}}}{c^2+2} = -\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c^2+2} $.

Ответ: $-\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c^2+2}$

51. а) $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} \cdot a^{-\frac{1}{3}};$

б) $\left(\frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}} - x - y\right) : \frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}};$

в) $\frac{c-1}{c^{\frac{3}{4}} + c^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}}{c^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot c^{\frac{1}{4}} + 1;$

г) $\frac{3(ab)^{\frac{1}{2}} - 3b}{a-b} + \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)^3 + 2a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}.$

а)

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b} \cdot a^{-\frac{1}{3}}$.

Для удобства введем замену: $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $a = x^3$ и $b = y^3$.

Преобразуем числитель первой дроби:

$a^{\frac{7}{3}} - 2a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{2}{3}} + ab^{\frac{4}{3}} = (x^3)^{\frac{7}{3}} - 2(x^3)^{\frac{5}{3}}(y^3)^{\frac{2}{3}} + (x^3)(y^3)^{\frac{4}{3}} = x^7 - 2x^5y^2 + x^3y^4$

Вынесем общий множитель $x^3$:

$x^3(x^4 - 2x^2y^2 + y^4) = x^3(x^2 - y^2)^2 = x^3((x-y)(x+y))^2 = x^3(x-y)^2(x+y)^2$.

Преобразуем знаменатель первой дроби:

$a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}} - ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b = (x^3)^{\frac{5}{3}} - (x^3)^{\frac{4}{3}}(y^3)^{\frac{1}{3}} - (x^3)(y^3)^{\frac{2}{3}} + (x^3)^{\frac{2}{3}}(y^3) = x^5 - x^4y - x^3y^2 + x^2y^3$.

Сгруппируем и вынесем общие множители:

$(x^5 - x^4y) - (x^3y^2 - x^2y^3) = x^4(x-y) - x^2y^2(x-y) = (x^4 - x^2y^2)(x-y) = x^2(x^2 - y^2)(x-y) = x^2(x-y)(x+y)(x-y) = x^2(x-y)^2(x+y)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{x^3(x-y)^2(x+y)^2}{x^2(x-y)^2(x+y)} \cdot (x^3)^{-\frac{1}{3}} = \frac{x^3(x-y)^2(x+y)^2}{x^2(x-y)^2(x+y)} \cdot x^{-1}$.

Сокращаем дробь:

$x(x+y) \cdot x^{-1} = (x \cdot x^{-1})(x+y) = 1 \cdot (x+y) = x+y$.

Выполним обратную замену:

$x+y = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$.

б)

Упростим выражение $\left( \frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}} - x - y \right) : \frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$.

Рассмотрим первое слагаемое в скобках. В знаменателе вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}$:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})$.

Тогда вся дробь равна:

$\frac{2(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})} = \frac{2}{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}} = 2(xy)^{-\frac{1}{4}}$.

Выражение в скобках принимает вид:

$2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y$.

Теперь упростим делитель:

$\frac{y-x}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(x-y)}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = -(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Выполним деление:

$(2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y) : (-(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})) = \frac{2(xy)^{-\frac{1}{4}} - x - y}{-(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x+y-2(xy)^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

Примечание: В условии задачи, вероятно, содержится опечатка, так как выражение не упрощается до стандартного простого вида. Решение приведено для точной записи из условия.

Ответ: $\frac{x+y-2(xy)^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$.

в)

Упростим выражение $\frac{c-1}{c^{\frac{3}{4}} + c^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}}{c^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot c^{\frac{1}{4}} + 1$.

Введем замену $x = c^{\frac{1}{4}}$. Тогда $c^{\frac{1}{2}} = x^2$, $c^{\frac{3}{4}} = x^3$, $c = x^4$.

Выражение примет вид:

$\frac{x^4-1}{x^3+x^2} \cdot \frac{x^2+x}{x^2+1} \cdot x + 1$.

Упростим произведение дробей. Разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{x^4-1}{x^3+x^2} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} = \frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2}$.

$\frac{x^2+x}{x^2+1} = \frac{x(x+1)}{x^2+1}$.

Подставим разложенные дроби в произведение:

$\frac{(x-1)(x^2+1)}{x^2} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x$.

Сократим общие множители $(x^2+1)$, а также $x^2$ в знаменателе с $x \cdot x$ в числителе:

$(x-1)(x+1) = x^2-1$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$(x^2-1) + 1 = x^2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = (c^{\frac{1}{4}})^2 = c^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $c^{\frac{1}{2}}$.

г)

Упростим выражение $\frac{3(ab)^{\frac{1}{2}} - 3b}{a-b} + \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^3 + 2a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}$.

Введем замену $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$. Тогда $a=x^2, b=y^2, a^{\frac{3}{2}}=x^3, b^{\frac{3}{2}}=y^3$.

Выражение примет вид:

$\frac{3xy - 3y^2}{x^2-y^2} + \frac{(x-y)^3 + 2x^3 + y^3}{x^3+y^3}$.

Упростим первую дробь:

$\frac{3y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3y}{x+y}$.

Упростим вторую дробь. Сначала преобразуем ее числитель, раскрыв куб разности:

$(x-y)^3 + 2x^3 + y^3 = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 2x^3 + y^3 = 3x^3 - 3x^2y + 3xy^2$.

Вынесем общий множитель $3x$:

$3x(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель второй дроби — это сумма кубов:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Теперь вторая дробь имеет вид:

$\frac{3x(x^2 - xy + y^2)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{3x}{x+y}$.

Сложим полученные дроби:

$\frac{3y}{x+y} + \frac{3x}{x+y} = \frac{3y+3x}{x+y} = \frac{3(y+x)}{x+y} = 3$.

Ответ: 3.

Упростите выражения (52, 53).

52. а) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

б) $\sqrt{\sin^2 \beta (1 + \operatorname{ctg} \beta) + \cos^2 \beta (1 + \operatorname{tg} \beta)};$

в) $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 + (2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2;$

г) $\frac{\cos \beta \operatorname{tg} \beta}{\sin^2 \beta} - \operatorname{ctg} \beta \cos \beta.$

а) $tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha - tg^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем $tg^2 \alpha$ за скобки:
$(tg^2 \alpha - tg^2 \alpha \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = tg^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, заменим выражение в скобках $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$:
$tg^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Теперь воспользуемся определением тангенса $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Сократим $\cos^2 \alpha$ в первом слагаемом:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0$.
Ответ: 0

б) $\sqrt{\sin^2 \beta (1 + \ctg \beta) + \cos^2 \beta (1 + \tg \beta)}$
Раскроем скобки в подкоренном выражении:
$\sin^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \ctg \beta + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta \cdot \tg \beta$.
Используем определения тангенса и котангенса: $\tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$ и $\ctg \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$.
$\sin^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.
Упростим слагаемые:
$\sin^2 \beta + \sin \beta \cos \beta + \cos^2 \beta + \cos \beta \sin \beta$.
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (2 \sin \beta \cos \beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:
$1 + 2 \sin \beta \cos \beta$.
Данное выражение можно свернуть в полный квадрат по формуле $(\sin \beta + \cos \beta)^2 = \sin^2 \beta + 2 \sin \beta \cos \beta + \cos^2 \beta = 1 + 2 \sin \beta \cos \beta$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sqrt{(\sin \beta + \cos \beta)^2} = |\sin \beta + \cos \beta|$.
Ответ: $|\sin \beta + \cos \beta|$

в) $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 + (2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2$
Воспользуемся формулами квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок.
Для первого слагаемого: $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 = (3 \sin \alpha)^2 + 2 \cdot (3 \sin \alpha) \cdot (2 \cos \alpha) + (2 \cos \alpha)^2 = 9 \sin^2 \alpha + 12 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha$.
Для второго слагаемого: $(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2 = (2 \sin \alpha)^2 - 2 \cdot (2 \sin \alpha) \cdot (3 \cos \alpha) + (3 \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha - 12 \sin \alpha \cos \alpha + 9 \cos^2 \alpha$.
Сложим полученные выражения:
$(9 \sin^2 \alpha + 12 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha) + (4 \sin^2 \alpha - 12 \sin \alpha \cos \alpha + 9 \cos^2 \alpha)$.
Слагаемые $12 \sin \alpha \cos \alpha$ и $-12 \sin \alpha \cos \alpha$ взаимно уничтожаются.
Сгруппируем оставшиеся члены:
$(9 \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha) + (4 \cos^2 \alpha + 9 \cos^2 \alpha) = 13 \sin^2 \alpha + 13 \cos^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель 13 за скобки:
$13(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$13 \cdot 1 = 13$.
Ответ: 13

г) $\frac{\cos \beta \tg \beta}{\sin^2 \beta} - \ctg \beta \cos \beta$
Преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя определения тангенса и котангенса.
Первое слагаемое: $\frac{\cos \beta \tg \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\sin^2 \beta} = \frac{\sin \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{1}{\sin \beta}$.
Второе слагаемое: $\ctg \beta \cos \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \cos \beta = \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Теперь вычтем второе из первого:
$\frac{1}{\sin \beta} - \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 - \cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \cos^2 \beta$ на $\sin^2 \beta$:
$\frac{\sin^2 \beta}{\sin \beta}$.
Сократим дробь:
$\sin \beta$.
Ответ: $\sin \beta$