Номер 52, страница 283 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 52, страница 283.

Условие.

Упростите выражения (52, 53).

52. а) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

б) $\sqrt{\sin^2 \beta (1 + \operatorname{ctg} \beta) + \cos^2 \beta (1 + \operatorname{tg} \beta)};$

в) $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 + (2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2;$

г) $\frac{\cos \beta \operatorname{tg} \beta}{\sin^2 \beta} - \operatorname{ctg} \beta \cos \beta.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha - tg^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем $tg^2 \alpha$ за скобки:
$(tg^2 \alpha - tg^2 \alpha \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = tg^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, заменим выражение в скобках $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$:
$tg^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Теперь воспользуемся определением тангенса $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Сократим $\cos^2 \alpha$ в первом слагаемом:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 0$.
Ответ: 0

б) $\sqrt{\sin^2 \beta (1 + \ctg \beta) + \cos^2 \beta (1 + \tg \beta)}$
Раскроем скобки в подкоренном выражении:
$\sin^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \ctg \beta + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta \cdot \tg \beta$.
Используем определения тангенса и котангенса: $\tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$ и $\ctg \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$.
$\sin^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.
Упростим слагаемые:
$\sin^2 \beta + \sin \beta \cos \beta + \cos^2 \beta + \cos \beta \sin \beta$.
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (2 \sin \beta \cos \beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:
$1 + 2 \sin \beta \cos \beta$.
Данное выражение можно свернуть в полный квадрат по формуле $(\sin \beta + \cos \beta)^2 = \sin^2 \beta + 2 \sin \beta \cos \beta + \cos^2 \beta = 1 + 2 \sin \beta \cos \beta$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sqrt{(\sin \beta + \cos \beta)^2} = |\sin \beta + \cos \beta|$.
Ответ: $|\sin \beta + \cos \beta|$

в) $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 + (2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2$
Воспользуемся формулами квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок.
Для первого слагаемого: $(3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha)^2 = (3 \sin \alpha)^2 + 2 \cdot (3 \sin \alpha) \cdot (2 \cos \alpha) + (2 \cos \alpha)^2 = 9 \sin^2 \alpha + 12 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha$.
Для второго слагаемого: $(2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha)^2 = (2 \sin \alpha)^2 - 2 \cdot (2 \sin \alpha) \cdot (3 \cos \alpha) + (3 \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha - 12 \sin \alpha \cos \alpha + 9 \cos^2 \alpha$.
Сложим полученные выражения:
$(9 \sin^2 \alpha + 12 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha) + (4 \sin^2 \alpha - 12 \sin \alpha \cos \alpha + 9 \cos^2 \alpha)$.
Слагаемые $12 \sin \alpha \cos \alpha$ и $-12 \sin \alpha \cos \alpha$ взаимно уничтожаются.
Сгруппируем оставшиеся члены:
$(9 \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha) + (4 \cos^2 \alpha + 9 \cos^2 \alpha) = 13 \sin^2 \alpha + 13 \cos^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель 13 за скобки:
$13(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$13 \cdot 1 = 13$.
Ответ: 13

г) $\frac{\cos \beta \tg \beta}{\sin^2 \beta} - \ctg \beta \cos \beta$
Преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя определения тангенса и котангенса.
Первое слагаемое: $\frac{\cos \beta \tg \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\sin^2 \beta} = \frac{\sin \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{1}{\sin \beta}$.
Второе слагаемое: $\ctg \beta \cos \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \cos \beta = \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Теперь вычтем второе из первого:
$\frac{1}{\sin \beta} - \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 - \cos^2 \beta}{\sin \beta}$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \cos^2 \beta$ на $\sin^2 \beta$:
$\frac{\sin^2 \beta}{\sin \beta}$.
Сократим дробь:
$\sin \beta$.
Ответ: $\sin \beta$