Номер 47, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 47, страница 282.

Условие.

47. Вычислите:

a) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 2.5)^2} - \sqrt[3]{(1.5 - \sqrt{5})^3} - 1; $

б) $ \frac{(5\sqrt{3} + \sqrt{50})(5 - \sqrt{24})}{\sqrt{75} - 5\sqrt{2}}; $

в) $ \left(\sqrt{(\sqrt{2} - 1.5)^2} - \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^3}\right)^2 + 0.75; $

г) $ \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{20}}{2\sqrt{5} + \sqrt{24}} \cdot (11 + 2\sqrt{30}). $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{(\sqrt{5}-2,5)^2} - \sqrt[3]{(1,5-\sqrt{5})^3} - 1$

Для решения воспользуемся свойствами корней: $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа) и $\sqrt[3]{a^3} = a$ (кубический корень из куба числа равен самому числу).

1. Упростим первый член $\sqrt{(\sqrt{5}-2,5)^2}$. Он равен $|\sqrt{5}-2,5|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $2,5$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2,5)^2 = 6,25$. Поскольку $5 < 6,25$, то $\sqrt{5} < 2,5$. Значит, разность $\sqrt{5}-2,5$ отрицательна. Следовательно, $|\sqrt{5}-2,5| = -(\sqrt{5}-2,5) = 2,5 - \sqrt{5}$.

2. Упростим второй член $-\sqrt[3]{(1,5-\sqrt{5})^3}$. Он равен $-(1,5-\sqrt{5}) = -1,5 + \sqrt{5}$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$(2,5 - \sqrt{5}) - (1,5 - \sqrt{5}) - 1 = 2,5 - \sqrt{5} - 1,5 + \sqrt{5} - 1$.

Сгруппируем подобные слагаемые: $(2,5 - 1,5 - 1) + (-\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

б) $\frac{(5\sqrt{3}+\sqrt{50})(5-\sqrt{24})}{\sqrt{75}-5\sqrt{2}}$

1. Упростим подкоренные выражения, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные значения в исходную дробь:

$\frac{(5\sqrt{3}+5\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}$

3. Вынесем общий множитель 5 в числителе и знаменателе и сократим его:

$\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{5(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

4. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$:

$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2(5-2\sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$

5. Вычислим знаменатель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$.

6. Упростим числитель. Сначала раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

7. Теперь числитель имеет вид $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$. Это снова формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

8. В результате получаем $\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

в) $(\sqrt{(\sqrt{2}-1,5)^2} - \sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3})^2 + 0,75$

1. Сначала упростим выражение внутри больших скобок, используя те же свойства корней, что и в пункте а): $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt[3]{a^3} = a$.

$\sqrt{(\sqrt{2}-1,5)^2} = |\sqrt{2}-1,5|$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} < 1,5$, и разность $\sqrt{2}-1,5$ отрицательна. Значит, $|\sqrt{2}-1,5| = -(\sqrt{2}-1,5) = 1,5 - \sqrt{2}$.

$\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3} = 1-\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные выражения в скобки:

$(1,5 - \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2}) = 1,5 - \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = 0,5$.

3. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$(0,5)^2 + 0,75 = 0,25 + 0,75 = 1$.

Ответ: 1

г) $\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{20}}{2\sqrt{5}+\sqrt{24}} \cdot (11+2\sqrt{30})$

1. Упростим корни в дроби:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{6}}$

3. Вынесем общий множитель 2 в числителе и знаменателе и сократим его:

$\frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{2(\sqrt{5}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

4. Умножим полученную дробь на второй множитель $(11+2\sqrt{30})$:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \cdot (11+2\sqrt{30})$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$:

$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}{6-5} = \frac{6-2\sqrt{30}+5}{1} = 11-2\sqrt{30}$.

6. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение из шага 4:

$(11-2\sqrt{30}) \cdot (11+2\sqrt{30})$

7. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1$.

Ответ: 1