Номер 41, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 41, страница 281.

Условие.

41. Разложите на множители:

а) $a^2 + b^2 + 2a - 2b - 2ab$;

б) $x^3 + (y - 1) x + y$;

в) $a^6 - 8$;

г) $x^4 - x^2 (y^2 + 1) + y^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное выражение: $a^2 + b^2 + 2a - 2b - 2ab$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить формулу квадрата разности: $(a^2 - 2ab + b^2) + (2a - 2b)$.
Первая группа слагаемых представляет собой полный квадрат: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Во второй группе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a - 2b = 2(a - b)$.
Теперь выражение имеет вид: $(a - b)^2 + 2(a - b)$.
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $(a - b)((a - b) + 2)$.
Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат: $(a - b)(a - b + 2)$.
Ответ: $(a - b)(a - b + 2)$

б) Исходное выражение: $x^3 + (y - 1)x + y$.
Раскроем скобки: $x^3 + yx - x + y$.
Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать члены, содержащие $y$, и оставшиеся члены: $(yx + y) + (x^3 - x)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $y(x + 1) + x(x^2 - 1)$.
Заметим, что выражение $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x - 1)(x + 1)$.
Подставим это в выражение: $y(x + 1) + x(x - 1)(x + 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки: $(x + 1)(y + x(x - 1))$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x + 1)(y + x^2 - x)$.
Запишем второй множитель в стандартном виде: $(x + 1)(x^2 - x + y)$.
Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + y)$

в) Исходное выражение: $a^6 - 8$.
Это выражение можно представить как разность кубов. Запишем $a^6$ как $(a^2)^3$, а 8 как $2^3$. Получим: $(a^2)^3 - 2^3$.
Применим формулу разности кубов: $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$.
В данном случае $X = a^2$ и $Y = 2$.
Подставляем наши значения в формулу: $(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2)$.
Выполняем действия в скобках: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$

г) Исходное выражение: $x^4 - x^2(y^2 + 1) + y^2$.
Раскроем скобки в выражении: $x^4 - x^2y^2 - x^2 + y^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - x^2y^2) - (x^2 - y^2)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x^2 - y^2) - 1(x^2 - y^2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - y^2)$ за скобки: $(x^2 - y^2)(x^2 - 1)$.
Оба получившихся множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к каждому из них.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $(x - y)(x + y)(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - y)(x + y)$