Номер 48, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 48, страница 282.

Условие.

Упростите выражения (48–51).

48. a) $\left(\frac{a+2}{\sqrt{2a}} - \frac{a}{\sqrt{2a}+2} + \frac{2}{a-\sqrt{2a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2};$

б) $\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2;$

в) $\left(\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{p+1}} + \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{p-1}}\right) : \left(1+\sqrt{\frac{p+1}{p-1}}\right);$

г) $\left(\frac{\sqrt{c}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{c}}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}+1} - \frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}-1}\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей:

• $ \sqrt{2a} $
• $ \sqrt{2a}+2 = \sqrt{2}\sqrt{a}+2 = \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2}) $
• $ a-\sqrt{2a} = \sqrt{a}\sqrt{a}-\sqrt{2}\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2}) $

Общий знаменатель для дробей в скобках: $ \sqrt{2a}(\sqrt{a}+\sqrt{2})(\sqrt{a}-\sqrt{2}) = \sqrt{2a}(a-2) $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a+2}{\sqrt{2a}} - \frac{a}{\sqrt{2a}+2} + \frac{2}{a-\sqrt{2a}} = \frac{(a+2)(a-2) - a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{2a}(a-2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (a^2-4) - (a^2-a\sqrt{2a}) + (2\sqrt{2a}+4) = a^2-4-a^2+a\sqrt{2a}+2\sqrt{2a}+4 = a\sqrt{2a}+2\sqrt{2a} = (a+2)\sqrt{2a} $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{(a+2)\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}(a-2)} = \frac{a+2}{a-2} $

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$ \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a-2} $

Используя формулу разности квадратов $ a-2 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2}) $, окончательно упрощаем:

$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} $

б)

Рассмотрим первую скобку. Упростим дробь $ \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $, используя формулу суммы кубов $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $, где $ x=\sqrt{a} $ и $ y=\sqrt{b} $:

$ a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})((\sqrt{a})^2-\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b) $

Тогда дробь равна:

$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = a-\sqrt{ab}+b $

Выражение в первой скобке становится:

$ (a-\sqrt{ab}+b) - \sqrt{ab} = a-2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $

Теперь рассмотрим вторую скобку. Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} $. Используем формулу разности квадратов $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:

$ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $

Возведем это выражение в квадрат, как указано в задаче:

$ \left( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^2 = \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} $

Перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 1 $

Ответ: $ 1 $

в)

Упростим выражение в первой скобке, избавившись от иррациональности в знаменателях дробей.

Первая дробь:

$ \frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{p+1}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{p}-\sqrt{p+1})}{(\sqrt{p}+\sqrt{p+1})(\sqrt{p}-\sqrt{p+1})} = \frac{\sqrt{p}-\sqrt{p+1}}{p-(p+1)} = \frac{\sqrt{p}-\sqrt{p+1}}{-1} = \sqrt{p+1}-\sqrt{p} $

Вторая дробь:

$ \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{p-1}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{p}+\sqrt{p-1})}{(\sqrt{p}-\sqrt{p-1})(\sqrt{p}+\sqrt{p-1})} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{p-1}}{p-(p-1)} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{p-1}}{1} = \sqrt{p}+\sqrt{p-1} $

Сложим полученные выражения:

$ (\sqrt{p+1}-\sqrt{p}) + (\sqrt{p}+\sqrt{p-1}) = \sqrt{p+1}-\sqrt{p}+\sqrt{p}+\sqrt{p-1} = \sqrt{p+1}+\sqrt{p-1} $

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$ 1 + \sqrt{\frac{p+1}{p-1}} = 1 + \frac{\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}} = \frac{\sqrt{p-1}+\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}} $

Выполним деление:

$ (\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}) : \frac{\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}}{\sqrt{p-1}} = (\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}) \cdot \frac{\sqrt{p-1}}{\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}} = \sqrt{p-1} $

Ответ: $ \sqrt{p-1} $

г)

Упростим первый множитель. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$ \frac{\sqrt{c}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{c})^2-1}{2\sqrt{c}} = \frac{c-1}{2\sqrt{c}} $

Возведем в квадрат:

$ \left( \frac{c-1}{2\sqrt{c}} \right)^2 = \frac{(c-1)^2}{(2\sqrt{c})^2} = \frac{(c-1)^2}{4c} $

Теперь упростим второй множитель. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках. Общий знаменатель $ (\sqrt{c}+1)(\sqrt{c}-1) = c-1 $.

$ \frac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}+1} - \frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}-1} = \frac{(\sqrt{c}-1)^2 - (\sqrt{c}+1)^2}{(\sqrt{c}+1)(\sqrt{c}-1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (c-2\sqrt{c}+1) - (c+2\sqrt{c}+1) = c-2\sqrt{c}+1-c-2\sqrt{c}-1 = -4\sqrt{c} $

Таким образом, второй множитель равен:

$ \frac{-4\sqrt{c}}{c-1} $

Перемножим упрощенные части:

$ \frac{(c-1)^2}{4c} \cdot \frac{-4\sqrt{c}}{c-1} = \frac{(c-1) \cdot (-4\sqrt{c})}{4c} = \frac{-(c-1)\sqrt{c}}{c} = \frac{(1-c)\sqrt{c}}{c} $

Упростим, зная, что $ c=(\sqrt{c})^2 $:

$ \frac{(1-c)\sqrt{c}}{(\sqrt{c})^2} = \frac{1-c}{\sqrt{c}} $

Ответ: $ \frac{1-c}{\sqrt{c}} $