Номер 55, страница 284 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 55, страница 284.

Условие.

55. a) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\alpha}} = \cos\frac{\alpha}{4}$ при $\pi < \alpha < 2\pi$;

б) $\sqrt{1 - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\alpha}} = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$ при $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

в) $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\alpha}} = -\cos\frac{\alpha}{2}$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

г) $\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}} = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}\right)$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Требуется доказать тождество $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\alpha}} = \cos\frac{\alpha}{4}$ при $\pi < \alpha < 2\pi$.

1. Начнем с преобразования внутреннего подкоренного выражения. Используем формулу косинуса половинного угла $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\alpha} = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = |\cos\frac{\alpha}{2}|$.

2. Определим знак $\cos\frac{\alpha}{2}$. По условию $\pi < \alpha < 2\pi$. Разделив неравенство на 2, получим $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Этот интервал соответствует II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$, и $|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$.

3. Подставим полученное выражение в исходное тождество:

$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-\cos\frac{\alpha}{2})} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{\alpha}{2}}{2}}$.

4. Снова применим формулу косинуса половинного угла, но уже для угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\alpha}{2}}{2}} = \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{4}} = |\cos\frac{\alpha}{4}|$.

5. Определим знак $\cos\frac{\alpha}{4}$. Из шага 2 мы знаем, что $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Разделив это неравенство на 2, получим $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал соответствует I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos\frac{\alpha}{4} > 0$, и $|\cos\frac{\alpha}{4}| = \cos\frac{\alpha}{4}$.

6. Таким образом, левая часть тождества равна $\cos\frac{\alpha}{4}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество $\sqrt{1 - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\alpha}} = \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ при $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1. Преобразуем внутреннее подкоренное выражение, используя формулу синуса половинного угла $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\alpha} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} = \sqrt{\sin^2\alpha} = |\sin\alpha|$.

2. Определим знак $\sin\alpha$. По условию $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует III четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $\sin\alpha < 0$, и $|\sin\alpha| = -\sin\alpha$.

3. Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$\sqrt{1 - (-\sin\alpha)} = \sqrt{1 + \sin\alpha}$.

4. Преобразуем выражение под корнем, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$\sqrt{1 + \sin\alpha} = \sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2} = |\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}|$.

5. Определим знак суммы $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ следует, что $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. В этом интервале (II четверть) $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$. Для сравнения их модулей заметим, что в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ значение синуса больше модуля косинуса (например, $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $|\cos\frac{2\pi}{3}| = \frac{1}{2}$). Значит, сумма $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$ положительна. Таким образом, $|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$.

6. Теперь преобразуем правую часть тождества, используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{\alpha}{2}) = \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$.

7. Левая и правая части тождества равны $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Требуется доказать тождество $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\alpha}} = -\cos\frac{\alpha}{2}$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1. Начнем с преобразования внутреннего радикала с помощью формулы $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\alpha} = \sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|$.

2. Определим знак $\cos\alpha$. По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos\alpha > 0$, и $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

3. Подставим полученное выражение в исходное тождество:

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\alpha} = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$.

4. Снова применим формулу косинуса половинного угла:

$\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = |\cos\frac{\alpha}{2}|$.

5. Определим знак $\cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ следует, что $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Этот интервал соответствует II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$, и $|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$.

6. Таким образом, левая часть тождества равна $-\cos\frac{\alpha}{2}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Требуется доказать тождество $\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}} = \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})$ при $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1. Преобразуем внутренний радикал, используя формулу $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha} = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} = \sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} = |\sin\frac{\alpha}{2}|$.

2. Определим знак $\sin\frac{\alpha}{2}$. По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, следовательно $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Этот интервал соответствует II четверти, где синус положителен. Значит, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, и $|\sin\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2}$.

3. Подставим полученное выражение в левую часть тождества:

$\sqrt{1 + \sin\frac{\alpha}{2}}$.

4. Преобразуем выражение под корнем в полный квадрат, используя тождества $1 = \sin^2\frac{\alpha}{4} + \cos^2\frac{\alpha}{4}$ и $\sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{4}\cos\frac{\alpha}{4}$:

$\sqrt{1 + \sin\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{4} + \cos^2\frac{\alpha}{4} + 2\sin\frac{\alpha}{4}\cos\frac{\alpha}{4}} = \sqrt{(\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4})^2} = |\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4}|$.

5. Определим знак суммы $\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4}$. Из условия $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ следует, что $\frac{3\pi}{8} < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал находится в I четверти, где и синус, и косинус положительны. Их сумма также положительна. Следовательно, $|\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4}| = \sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4}$.

6. Теперь преобразуем правую часть тождества:

$\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{\alpha}{4}) = \cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{4}$.

7. Левая и правая части тождества равны $\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.