Номер 56, страница 284 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 56, страница 284.

Условие.

56. Докажите справедливость равенства:

а) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$;

б) $\text{tg } 20^\circ - 4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ = -2 \sin 20^\circ$;

в) $\frac{1}{\sin 10^\circ} - 4 \sin 70^\circ = 2$;

г) $\cos 20^\circ + 2 \sin^2 55^\circ - \sqrt{2} \sin 65^\circ = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем справедливость равенства $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$.

Обозначим левую часть равенства как $P$.

$P = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}$

Воспользуемся формулой приведения $\cos\alpha = -\cos(\pi - \alpha)$. Заметим, что $\cos\frac{5\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{2\pi}{7}) = -\cos\frac{2\pi}{7}$.

Подставим это в исходное выражение:

$P = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}(-\cos\frac{2\pi}{7}) = -\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}$.

Для дальнейшего упрощения умножим и разделим выражение на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):

$P = -\frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ трижды:

$P = -\frac{\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{\frac{1}{2}(2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7})\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

$P = -\frac{\frac{1}{4}(2\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7})}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}}$

Используем формулу приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$.

$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$.

Подставим полученное значение обратно в выражение для $P$:

$P = -\frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$.

б) Докажем справедливость равенства $\tg 20^\circ - 4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ = -2 \sin 20^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства (обозначим её ЛЧ):

$\text{ЛЧ} = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} - 4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ$.

Вынесем общий множитель $\sin 20^\circ$ за скобки:

$\text{ЛЧ} = \sin 20^\circ \left( \frac{1}{\cos 20^\circ} - 4 \sin 50^\circ \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\text{ЛЧ} = \sin 20^\circ \left( \frac{1 - 4 \sin 50^\circ \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} \right)$.

Преобразуем произведение синуса и косинуса в сумму с помощью формулы $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$4 \sin 50^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot (2 \sin 50^\circ \cos 20^\circ) = 2(\sin(50^\circ+20^\circ) + \sin(50^\circ-20^\circ)) = 2(\sin 70^\circ + \sin 30^\circ)$.

Используя формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$ и зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$4 \sin 50^\circ \cos 20^\circ = 2(\cos 20^\circ + \frac{1}{2}) = 2\cos 20^\circ + 1$.

Подставим это выражение в числитель дроби в скобках:

$1 - 4 \sin 50^\circ \cos 20^\circ = 1 - (2\cos 20^\circ + 1) = -2\cos 20^\circ$.

Теперь подставим полученный числитель обратно в выражение для ЛЧ:

$\text{ЛЧ} = \sin 20^\circ \left( \frac{-2\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} \right) = \sin 20^\circ \cdot (-2) = -2 \sin 20^\circ$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $\tg 20^\circ - 4 \sin 20^\circ \sin 50^\circ = -2 \sin 20^\circ$.

в) Докажем справедливость равенства $\frac{1}{\sin 10^\circ} - 4 \sin 70^\circ = 2$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

$\text{ЛЧ} = \frac{1}{\sin 10^\circ} - 4 \sin 70^\circ$.

Приведем к общему знаменателю:

$\text{ЛЧ} = \frac{1 - 4 \sin 10^\circ \sin 70^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Используем формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$.

$\text{ЛЧ} = \frac{1 - 4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ}{\sin 10^\circ}$.

Используем формулу преобразования произведения в сумму $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot (2 \sin 10^\circ \cos 20^\circ) = 2(\sin(10^\circ+20^\circ) + \sin(10^\circ-20^\circ)) = 2(\sin 30^\circ + \sin(-10^\circ))$.

Так как $\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ = 2(\frac{1}{2} - \sin 10^\circ) = 1 - 2\sin 10^\circ$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$1 - (1 - 2\sin 10^\circ) = 1 - 1 + 2\sin 10^\circ = 2\sin 10^\circ$.

Теперь подставим полученный числитель обратно в выражение для ЛЧ:

$\text{ЛЧ} = \frac{2\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ} = 2$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - 4 \sin 70^\circ = 2$.

г) Докажем справедливость равенства $\cos 20^\circ + 2 \sin^2 55^\circ - \sqrt{2} \sin 65^\circ = 1$.

Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ), используя тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем $2 \sin^2 55^\circ$ с помощью формулы понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$:

$2\sin^2 55^\circ = 1 - \cos(2 \cdot 55^\circ) = 1 - \cos 110^\circ$.

Используя формулу приведения $\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$, получаем:

$2\sin^2 55^\circ = 1 - (-\sin 20^\circ) = 1 + \sin 20^\circ$.

Теперь преобразуем слагаемое $\sqrt{2} \sin 65^\circ$. Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin 65^\circ = \sin(45^\circ + 20^\circ) = \sin 45^\circ \cos 20^\circ + \cos 45^\circ \sin 20^\circ$.

Так как $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\sin 65^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 20^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 20^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 20^\circ + \sin 20^\circ)$.

Следовательно, $\sqrt{2} \sin 65^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 20^\circ + \sin 20^\circ) = \frac{2}{2}(\cos 20^\circ + \sin 20^\circ) = \cos 20^\circ + \sin 20^\circ$.

Подставим все преобразованные части обратно в левую часть исходного равенства:

$\text{ЛЧ} = \cos 20^\circ + (1 + \sin 20^\circ) - (\cos 20^\circ + \sin 20^\circ)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\text{ЛЧ} = \cos 20^\circ + 1 + \sin 20^\circ - \cos 20^\circ - \sin 20^\circ = 1$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $\cos 20^\circ + 2 \sin^2 55^\circ - \sqrt{2} \sin 65^\circ = 1$.