Номер 59, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 59, страница 285.

Условие.

59. a) $\lg \operatorname{tg} 1^\circ + \lg \operatorname{tg} 2^\circ + \dots + \lg \operatorname{tg} 89^\circ;$

б) $\lg \operatorname{tg} 1^\circ \cdot \lg \operatorname{tg} 2^\circ \cdot \dots \cdot \lg \operatorname{tg} 89^\circ.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a)

Рассмотрим сумму логарифмов: $S = \lg \tg 1^\circ + \lg \tg 2^\circ + \dots + \lg \tg 89^\circ$.
Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения. $$ \lg a + \lg b = \lg(a \cdot b) $$ Применив это свойство ко всей сумме, получим: $$ S = \lg(\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \dots \cdot \tg 89^\circ) $$ Теперь рассмотрим произведение под знаком логарифма. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $$ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha $$ А также тем, что $\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$.
Сгруппируем множители в произведении парами: первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

• $\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ = \tg 1^\circ \cdot \tg(90^\circ - 1^\circ) = \tg 1^\circ \cdot \ctg 1^\circ = 1$
• $\tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ = \tg 2^\circ \cdot \tg(90^\circ - 2^\circ) = \tg 2^\circ \cdot \ctg 2^\circ = 1$
• ...
• $\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ = \tg 44^\circ \cdot \tg(90^\circ - 44^\circ) = \tg 44^\circ \cdot \ctg 44^\circ = 1$

Всего в последовательности 89 членов. Таким образом, у нас будет 44 такие пары, произведение каждой из которых равно 1. В центре последовательности останется один член без пары: $\tg 45^\circ$.
Мы знаем, что $\tg 45^\circ = 1$.
Следовательно, все произведение под знаком логарифма равно: $$ (\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ) \cdot (\tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ) \cdot \dots \cdot (\tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ) \cdot \tg 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$ Подставим это значение обратно в исходное выражение: $$ S = \lg(1) $$ Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. $$ S = 0 $$

Ответ: 0

б)

Рассмотрим произведение: $M = \lg \tg 1^\circ \cdot \lg \tg 2^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 89^\circ$.
Это произведение состоит из 89 множителей вида $\lg \tg \alpha$, где $\alpha$ принимает целочисленные значения от 1 до 89.
Найдем в этой последовательности множитель для $\alpha = 45^\circ$: $$ \lg \tg 45^\circ $$ Известно, что значение тангенса 45 градусов равно 1: $$ \tg 45^\circ = 1 $$ Тогда этот множитель равен: $$ \lg \tg 45^\circ = \lg(1) = 0 $$ Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, все произведение равно нулю. $$ M = (\lg \tg 1^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 44^\circ) \cdot (0) \cdot (\lg \tg 46^\circ \cdot \dots \cdot \lg \tg 89^\circ) = 0 $$

Ответ: 0