Номер 64, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 64, страница 285.

Условие.

64. Упростите выражение:

а) $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} + 25^{\log_{125} 8};$

б) $2^{4 \log_4 a} - 5^{\frac{1}{2} \log_{\sqrt{5}} a} - a^0$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для упрощения выражения $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}$ разобьем его на два слагаемых и упростим каждое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}}$

Найдем значение числителя: $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Теперь упростим знаменатель $81^{\frac{1}{2}\log_9 4}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $k \log_b x = \log_b x^k$:

$\frac{1}{2}\log_9 4 = \log_9 4^{\frac{1}{2}} = \log_9 \sqrt{4} = \log_9 2$

Тогда знаменатель становится $81^{\log_9 2}$. Представим основание степени 81 как степень числа 9 ($81 = 9^2$) и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$81^{\log_9 2} = (9^2)^{\log_9 2} = 9^{2\log_9 2} = 9^{\log_9 2^2} = 9^{\log_9 4} = 4$

Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{3}{4}$.

2. Упростим второе слагаемое: $25^{\log_{125} 8}$.
Приведем основание степени (25) и основание логарифма (125) к одному основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Аргумент логарифма $8 = 2^3$.

$25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 2^3}$

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n}\log_a b$:

$\log_{5^3} 2^3 = \frac{3}{3}\log_5 2 = \log_5 2$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

3. Сложим полученные результаты:

$\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$

Ответ: $\frac{19}{4}$.

б)

Для упрощения выражения $2^{4\log_4 a} - 5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} - a^0$ упростим каждое его слагаемое. Заметим, что область допустимых значений для переменной $a$ — $a > 0$.

1. Упростим первое слагаемое: $2^{4\log_4 a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $2 = \sqrt{4} = 4^{1/2}$, можно записать:

$2^{4\log_4 a} = (4^{1/2})^{4\log_4 a} = 4^{\frac{1}{2} \cdot 4\log_4 a} = 4^{2\log_4 a}$

Используя свойство $k \log_b x = \log_b x^k$, а затем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b x} = x$:

$4^{2\log_4 a} = 4^{\log_4 a^2} = a^2$

2. Упростим второе слагаемое: $5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $5 = (\sqrt{5})^2$:

$5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = ((\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a}$

По основному логарифмическому тождеству:

$(\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a} = a$

3. Упростим третье слагаемое: $a^0$.
Любое положительное число в нулевой степени равно единице. Так как $a>0$, то $a^0 = 1$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$a^2 - a - 1$

Ответ: $a^2 - a - 1$.