Номер 64, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 64, страница 285.
№64 (с. 285)
Условие. №64 (с. 285)
скриншот условия

64. Упростите выражение:
а) $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} + 25^{\log_{125} 8};$
б) $2^{4 \log_4 a} - 5^{\frac{1}{2} \log_{\sqrt{5}} a} - a^0$
Решение 1. №64 (с. 285)

Решение 3. №64 (с. 285)

Решение 5. №64 (с. 285)
а)
Для упрощения выражения $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}$ разобьем его на два слагаемых и упростим каждое по отдельности.
1. Упростим первое слагаемое: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}}$
Найдем значение числителя: $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Теперь упростим знаменатель $81^{\frac{1}{2}\log_9 4}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $k \log_b x = \log_b x^k$:
$\frac{1}{2}\log_9 4 = \log_9 4^{\frac{1}{2}} = \log_9 \sqrt{4} = \log_9 2$
Тогда знаменатель становится $81^{\log_9 2}$. Представим основание степени 81 как степень числа 9 ($81 = 9^2$) и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:
$81^{\log_9 2} = (9^2)^{\log_9 2} = 9^{2\log_9 2} = 9^{\log_9 2^2} = 9^{\log_9 4} = 4$
Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{3}{4}$.
2. Упростим второе слагаемое: $25^{\log_{125} 8}$.
Приведем основание степени (25) и основание логарифма (125) к одному основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Аргумент логарифма $8 = 2^3$.
$25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 2^3}$
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n}\log_a b$:
$\log_{5^3} 2^3 = \frac{3}{3}\log_5 2 = \log_5 2$
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$
3. Сложим полученные результаты:
$\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$
Ответ: $\frac{19}{4}$.
б)
Для упрощения выражения $2^{4\log_4 a} - 5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} - a^0$ упростим каждое его слагаемое. Заметим, что область допустимых значений для переменной $a$ — $a > 0$.
1. Упростим первое слагаемое: $2^{4\log_4 a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $2 = \sqrt{4} = 4^{1/2}$, можно записать:
$2^{4\log_4 a} = (4^{1/2})^{4\log_4 a} = 4^{\frac{1}{2} \cdot 4\log_4 a} = 4^{2\log_4 a}$
Используя свойство $k \log_b x = \log_b x^k$, а затем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b x} = x$:
$4^{2\log_4 a} = 4^{\log_4 a^2} = a^2$
2. Упростим второе слагаемое: $5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a}$.
Приведем основание степени к основанию логарифма. Так как $5 = (\sqrt{5})^2$:
$5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = ((\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}} a} = (\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a}$
По основному логарифмическому тождеству:
$(\sqrt{5})^{\log_{\sqrt{5}} a} = a$
3. Упростим третье слагаемое: $a^0$.
Любое положительное число в нулевой степени равно единице. Так как $a>0$, то $a^0 = 1$.
4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$a^2 - a - 1$
Ответ: $a^2 - a - 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 64 расположенного на странице 285 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №64 (с. 285), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.