Номер 70, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 70, страница 286.
№70 (с. 286)
Условие. №70 (с. 286)
скриншот условия

70. Упростите и найдите приближенное значение выражения
$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \dots \log_{10} 9.$
Решение 1. №70 (с. 286)

Решение 3. №70 (с. 286)

Решение 5. №70 (с. 286)
Для решения данной задачи мы сначала упростим выражение, а затем найдем его приближенное значение.
Исходное выражение представляет собой произведение логарифмов:
$log_3 2 \cdot log_4 3 \cdot log_5 4 \cdot log_6 5 \cdot \ldots \cdot log_{10} 9$
Для упрощения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Мы можем выбрать любое удобное основание $c$, например, основание 10 (десятичный логарифм) или основание $e$ (натуральный логарифм). Перейдем к натуральному логарифму ($\ln$).
Представим каждый член произведения в виде дроби:
$\log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3}$
$\log_4 3 = \frac{\ln 3}{\ln 4}$
$\log_5 4 = \frac{\ln 4}{\ln 5}$
... и так далее.
Полностью расписанное выражение выглядит так:
$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \cdot \log_9 8 \cdot \log_{10} 9$
Теперь подставим дроби с натуральными логарифмами в это произведение:
$\frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 8} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 10}$
В этом произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби. Этот эффект называется телескопическим сокращением.
$\frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \frac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 7}} \cdot \frac{\cancel{\ln 7}}{\cancel{\ln 8}} \cdot \frac{\cancel{\ln 8}}{\cancel{\ln 9}} \cdot \frac{\cancel{\ln 9}}{\ln 10}$
После сокращения всех промежуточных членов в выражении остаются только числитель первой дроби и знаменатель последней:
$\frac{\ln 2}{\ln 10}$
Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, мы можем записать этот результат как логарифм по основанию 10:
$\frac{\ln 2}{\ln 10} = \log_{10} 2$
Таким образом, мы упростили исходное выражение до $\log_{10} 2$ (также обозначается как $\lg 2$).
Теперь найдем приближенное значение этого выражения. Значение десятичного логарифма от 2 является известной математической константой.
$\log_{10} 2 \approx 0.30103$
Обычно для расчетов используют значение, округленное до трех знаков после запятой:
$\log_{10} 2 \approx 0.301$
Ответ: Упрощенное выражение: $\log_{10} 2$. Приближенное значение: $\approx 0.301$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 70 расположенного на странице 286 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №70 (с. 286), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.