Номер 70, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 70, страница 286.

Условие.

70. Упростите и найдите приближенное значение выражения

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \dots \log_{10} 9.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы сначала упростим выражение, а затем найдем его приближенное значение.

Исходное выражение представляет собой произведение логарифмов:

$log_3 2 \cdot log_4 3 \cdot log_5 4 \cdot log_6 5 \cdot \ldots \cdot log_{10} 9$

Для упрощения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Мы можем выбрать любое удобное основание $c$, например, основание 10 (десятичный логарифм) или основание $e$ (натуральный логарифм). Перейдем к натуральному логарифму ($\ln$).

Представим каждый член произведения в виде дроби:

$\log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3}$

$\log_4 3 = \frac{\ln 3}{\ln 4}$

$\log_5 4 = \frac{\ln 4}{\ln 5}$

... и так далее.

Полностью расписанное выражение выглядит так:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \cdot \log_9 8 \cdot \log_{10} 9$

Теперь подставим дроби с натуральными логарифмами в это произведение:

$\frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 8} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 10}$

В этом произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби. Этот эффект называется телескопическим сокращением.

$\frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \frac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 7}} \cdot \frac{\cancel{\ln 7}}{\cancel{\ln 8}} \cdot \frac{\cancel{\ln 8}}{\cancel{\ln 9}} \cdot \frac{\cancel{\ln 9}}{\ln 10}$

После сокращения всех промежуточных членов в выражении остаются только числитель первой дроби и знаменатель последней:

$\frac{\ln 2}{\ln 10}$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, мы можем записать этот результат как логарифм по основанию 10:

$\frac{\ln 2}{\ln 10} = \log_{10} 2$

Таким образом, мы упростили исходное выражение до $\log_{10} 2$ (также обозначается как $\lg 2$).

Теперь найдем приближенное значение этого выражения. Значение десятичного логарифма от 2 является известной математической константой.

$\log_{10} 2 \approx 0.30103$

Обычно для расчетов используют значение, округленное до трех знаков после запятой:

$\log_{10} 2 \approx 0.301$

Ответ: Упрощенное выражение: $\log_{10} 2$. Приближенное значение: $\approx 0.301$.