Номер 74, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 74, страница 286.

Условие.

74. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, совершает гармонические колебания. Задайте формулой:

а) координату точки как функцию времени;

б) скорость точки как функцию времени.

Решение 1.

Решение 5.

а) координату точки как функцию времени;

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина (в данном случае координата точки) изменяется со временем по синусоидальному закону. Общее уравнение, описывающее прямолинейные гармонические колебания, можно записать с помощью функции косинуса (или синуса).

Формула координаты $x$ как функции времени $t$ выглядит следующим образом:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

В этой формуле:
$A$ — это амплитуда колебаний, то есть максимальное отклонение точки от положения равновесия. Амплитуда всегда является положительной величиной ($A > 0$).
$\omega$ — это циклическая (или круговая) частота. Она характеризует скорость изменения фазы колебаний и связана с периодом колебаний $T$ (время одного полного колебания) и частотой $\nu$ (количество колебаний в единицу времени) соотношениями: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$. Измеряется в радианах в секунду (рад/с).
$\phi_0$ — это начальная фаза колебаний. Она определяет значение координаты в начальный момент времени ($t=0$).
$(\omega t + \phi_0)$ — это фаза колебаний в момент времени $t$. Она определяет состояние колебательной системы (координату и скорость) в любой момент времени.

Ответ: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

б) скорость точки как функцию времени.

Скорость материальной точки при прямолинейном движении — это первая производная ее координаты по времени. Чтобы найти формулу для скорости $v(t)$, необходимо продифференцировать по времени $t$ функцию координаты $x(t)$, полученную в пункте а).

Исходная функция координаты:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Находим производную:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \phi_0))$

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$v(t) = A \cdot (-\sin(\omega t + \phi_0)) \cdot \frac{d}{dt}(\omega t + \phi_0)$
$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Эта формула показывает, что скорость точки также изменяется по гармоническому закону. Амплитуда скорости равна $v_{max} = A\omega$. Знак "минус" и функция синуса указывают на то, что колебания скорости опережают колебания координаты по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°). Скорость достигает максимального значения, когда точка проходит положение равновесия ($x=0$), и становится равной нулю в точках максимального отклонения ($x = \pm A$).

Ответ: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$