Номер 81, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 81, страница 289.

Условие.

81. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума и точки минимума функции:

а) $y = 4x^2 + 3x - 1;$

б) $y = 1 - \frac{2}{x};$

в) $y = (x - 1)^4 - 2;$

г) $y = \frac{x+4}{x-1}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для исследования функции $y = 4x^2 + 3x - 1$ на монотонность и экстремумы, найдем ее производную. Область определения функции – все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (4x^2 + 3x - 1)' = 8x + 3$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.

$8x + 3 = 0 \implies x = -3/8$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка $x = -3/8$ разбивает числовую ось. Если $x < -3/8$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y' = -5$), следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -3/8]$. Если $x > -3/8$, то $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y' = 3$), следовательно, функция возрастает на промежутке $[-3/8, +\infty)$.

В точке $x = -3/8$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3/8; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -3/8]$, точка минимума $x_{min} = -3/8$, точек максимума нет.

б) Для функции $y = 1 - \frac{2}{x}$, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

Находим производную функции, представив ее в виде $y = 1 - 2x^{-1}$:

$y' = (1 - 2x^{-1})' = 0 - 2(-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

Определим знак производной. Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' = \frac{2}{x^2} > 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек максимума и минимума нет.

в) Для функции $y = (x - 1)^4 - 2$, область определения – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((x - 1)^4 - 2)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x-1)' = 4(x - 1)^3$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.

$4(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Если $x < 1$, то $(x-1) < 0$, и $(x-1)^3 < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$. Если $x > 1$, то $(x-1) > 0$, и $(x-1)^3 > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, точка минимума $x_{min} = 1$, точек максимума нет.

г) Для функции $y = \frac{x+4}{x-1}$, область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 1$).

Находим производную, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x+4}{x-1}\right)' = \frac{(x+4)'(x-1) - (x+4)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+4) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 4}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{-5}{(x-1)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции. Таким образом, критических точек нет.

Определим знак производной. Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения, а числитель равен -5. Следовательно, $y' = \frac{-5}{(x-1)^2} < 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, точек максимума и минимума нет.