Номер 88, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 88, страница 290.

Условие.

88. Докажите, что уравнение имеет корень, принадлежащий заданному промежутку I:

а) $x^3 - 6x + 2 = 0$, $I = [0; 1];$

б) $x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9} = 0$, $I = [1; 2];$

в) $x^5 + 3x = 5$, $I = [1; 2];$

г) $4 + 2x^3 - x^5 = 0$, $I = [-1; 2].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^3 - 6x + 2 = 0, I = [0; 1]$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 6x + 2$. Эта функция является многочленом и, следовательно, непрерывна на всей числовой прямой, в том числе и на отрезке $[0; 1]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0 + 2 = 2$

$f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 2 = -3$

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$ и принимает на его концах значения разных знаков ($f(0) > 0$ и $f(1) < 0$), то согласно следствию из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении, существует по крайней мере одна точка $c \in (0; 1)$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет корень, принадлежащий данному промежутку.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9} = 0, I = [1; 2]$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 - 3x^2 + \frac{2}{9}$. Эта функция является многочленом и непрерывна на отрезке $[1; 2]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

$f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 + \frac{2}{9} = 1 - 3 + \frac{2}{9} = -2 + \frac{2}{9} = -\frac{18}{9} + \frac{2}{9} = -\frac{16}{9}$

$f(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^2 + \frac{2}{9} = 16 - 3 \cdot 4 + \frac{2}{9} = 16 - 12 + \frac{2}{9} = 4 + \frac{2}{9} = \frac{38}{9}$

Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[1; 2]$ и на его концах принимает значения разных знаков ($f(1) < 0$ и $f(2) > 0$), то по следствию из теоремы Больцано-Коши, существует точка $c \in (1; 2)$, такая что $f(c) = 0$. Следовательно, уравнение имеет корень на заданном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $x^5 + 3x = 5, I = [1; 2]$

Перепишем уравнение в виде $x^5 + 3x - 5 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x - 5$. Эта функция непрерывна на отрезке $[1; 2]$, так как является многочленом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

$f(2) = 2^5 + 3 \cdot 2 - 5 = 32 + 6 - 5 = 33$

Функция $f(x)$ непрерывна на $[1; 2]$ и $f(1) < 0$, а $f(2) > 0$. Значит, по следствию из теоремы Больцано-Коши, существует корень уравнения на интервале $(1; 2)$, а следовательно, и на отрезке $[1; 2]$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $4 + 2x^3 - x^5 = 0, I = [-1; 2]$

Рассмотрим функцию $f(x) = 4 + 2x^3 - x^5$. Как многочлен, эта функция непрерывна на любом отрезке, включая $[-1; 2]$.
Найдем значения функции на концах заданного промежутка:

$f(-1) = 4 + 2(-1)^3 - (-1)^5 = 4 + 2(-1) - (-1) = 4 - 2 + 1 = 3$

$f(2) = 4 + 2(2)^3 - 2^5 = 4 + 2 \cdot 8 - 32 = 4 + 16 - 32 = -12$

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и значения на его концах имеют разные знаки ($f(-1) > 0$ и $f(2) < 0$), то по следствию из теоремы Больцано-Коши, на интервале $(-1; 2)$ существует как минимум один корень уравнения $f(x)=0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.