Номер 93, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 93, страница 290.

Условие.

93. Может ли линейная или квадратичная функция быть:

а) четкой;

б) нечетной;

в) периодической?

Решение 1.

Решение 5.

а) четкой

Рассмотрим сначала линейную функцию общего вида $f(x) = kx + b$. Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = k(-x) + b = -kx + b$. Приравняем $f(-x)$ и $f(x)$: $-kx + b = kx + b$ $2kx = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $2k=0$, откуда $k=0$. Если $k=0$, линейная функция принимает вид $f(x) = b$. Это функция-константа, график которой — прямая, параллельная оси Ox. Такая функция действительно является четной, так как ее график симметричен относительно оси Oy.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию общего вида $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие четности $g(-x) = g(x)$. Найдем $g(-x)$: $g(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$. Приравняем $g(-x)$ и $g(x)$: $ax^2 - bx + c = ax^2 + bx + c$ $2bx = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только при $b=0$. Таким образом, квадратичная функция является четной, если она имеет вид $g(x) = ax^2 + c$. График такой функции — парабола, симметричная относительно оси Oy.

Ответ: Да, может. Линейная функция является четной, если она является постоянной функцией ($f(x) = b$). Квадратичная функция является четной, если коэффициент при первой степени $x$ равен нулю ($g(x) = ax^2 + c$).

б) нечетной

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Мы уже нашли, что $f(-x) = -kx + b$. Найдем $-f(x)$: $-f(x) = -(kx + b) = -kx - b$. Приравняем $f(-x)$ и $-f(x)$: $-kx + b = -kx - b$ $2b = 0$ $b = 0$ Таким образом, линейная функция является нечетной, если она имеет вид $f(x) = kx$. Это функция прямой пропорциональности, график которой — прямая, проходящая через начало координат и симметричная относительно него.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие нечетности $g(-x) = -g(x)$. Мы уже нашли, что $g(-x) = ax^2 - bx + c$. Найдем $-g(x)$: $-g(x) = -(ax^2 + bx + c) = -ax^2 - bx - c$. Приравняем $g(-x)$ и $-g(x)$: $ax^2 - bx + c = -ax^2 - bx - c$ $2ax^2 + 2c = 0$ $ax^2 + c = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Если мы подставим $x=0$, получим $c=0$. Тогда равенство примет вид $ax^2 = 0$. Так как это должно быть верно для любого $x$, подставим, например, $x=1$, получим $a=0$. Но по определению квадратичной функции $a \neq 0$. Следовательно, мы пришли к противоречию.

Ответ: Да, линейная функция может быть нечетной, если она является функцией прямой пропорциональности ($f(x) = kx$). Квадратичная функция нечетной быть не может.

в) периодической

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Функция называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Найдем $f(x+T)$: $f(x+T) = k(x+T) + b = kx + kT + b$. Приравняем $f(x+T)$ и $f(x)$: $kx + kT + b = kx + b$ $kT = 0$ Так как по определению периода $T \neq 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $k=0$. Если $k=0$, функция принимает вид $f(x) = b$. Это постоянная функция. Любое число $T \neq 0$ является ее периодом, так как $f(x+T) = b$ и $f(x)=b$. Следовательно, линейная функция может быть периодической только если она постоянна.

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$). Проверим условие периодичности $g(x+T) = g(x)$ для некоторого $T \neq 0$. Найдем $g(x+T)$: $g(x+T) = a(x+T)^2 + b(x+T) + c = a(x^2 + 2xT + T^2) + bx + bT + c = ax^2 + 2axT + aT^2 + bx + bT + c$. Приравняем $g(x+T)$ и $g(x)$: $ax^2 + 2axT + aT^2 + bx + bT + c = ax^2 + bx + c$ $2axT + aT^2 + bT = 0$ $T(2ax + aT + b) = 0$ Так как $T \neq 0$, мы можем разделить обе части на $T$: $2ax + (aT + b) = 0$ Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Это линейное уравнение относительно $x$. Оно может быть тождеством (верным для всех $x$) только в том случае, когда все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент при $x$ равен $2a$. Значит, $2a = 0$, откуда $a=0$. Но это противоречит определению квадратичной функции, для которой $a \neq 0$. Следовательно, квадратичная функция не может быть периодической.

Ответ: Да, линейная функция может быть периодической, если она является постоянной функцией ($f(x) = b$). Квадратичная функция периодической быть не может.