Номер 99, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 99, страница 292.

Условие.

99. a) $y = \frac{1}{1 + \sin 2x}$;

б) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$;

в) $y = \frac{3}{\cos x - 1}$;

г) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{1}{1 + \sin 2x}$

Чтобы найти область значений функции, проанализируем её знаменатель. Область значений синуса: $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Теперь найдем, какие значения может принимать знаменатель $1 + \sin 2x$:
Наименьшее значение знаменателя: $1 + (-1) = 0$.
Наибольшее значение знаменателя: $1 + 1 = 2$.
Таким образом, $0 \le 1 + \sin 2x \le 2$.

Функция $y$ определена, когда её знаменатель не равен нулю, то есть $1 + \sin 2x \ne 0$, что означает $\sin 2x \ne -1$. Следовательно, знаменатель может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2]$.

Рассмотрим поведение функции $y = \frac{1}{t}$, где $t = 1 + \sin 2x$ и $t \in (0, 2]$. Когда знаменатель $t$ принимает свое наибольшее значение $t=2$, функция $y$ принимает наименьшее значение: $y = \frac{1}{2}$. Когда знаменатель $t$ стремится к нулю ($t \to 0+$), значение функции $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$). Таким образом, область значений функции (обозначается $E(y)$) — это все числа от $\frac{1}{2}$ включительно и больше.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$

Для упрощения выражения под корнем воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$. В нашем случае $2\alpha = 4x$, следовательно, $\alpha = 2x$. Подставим в формулу: $1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$.

Теперь функция имеет вид: $y = \sqrt{2\sin^2(2x)}$. Извлекая корень, получаем: $y = \sqrt{2}\sqrt{\sin^2(2x)} = \sqrt{2}|\sin 2x|$.

Найдём область значений полученного выражения. Область значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Модуль этой величины, $|\sin 2x|$, принимает значения в отрезке $[0, 1]$. Умножая на $\sqrt{2}$, получаем область значений для $y$:

$0 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}|\sin 2x| \le 1 \cdot \sqrt{2}$
$0 \le y \le \sqrt{2}$

Ответ: $E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

в) $y = \frac{3}{\cos x - 1}$

Найдём область значений знаменателя. Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, для знаменателя $\cos x - 1$ имеем:
Наименьшее значение: $-1 - 1 = -2$.
Наибольшее значение: $1 - 1 = 0$.
Таким образом, $-2 \le \cos x - 1 \le 0$.

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: $\cos x - 1 \ne 0$, то есть $\cos x \ne 1$. Значит, знаменатель принимает значения из полуинтервала $[-2, 0)$.

Пусть $t = \cos x - 1$, где $t \in [-2, 0)$. Тогда $y = \frac{3}{t}$. Когда знаменатель $t$ принимает свое наименьшее значение $t=-2$, функция $y$ принимает наибольшее значение: $y = \frac{3}{-2} = -1.5$. Когда знаменатель $t$ стремится к нулю с отрицательной стороны ($t \to 0-$), значение дроби стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$). Следовательно, область значений функции простирается от $-\infty$ до $-1.5$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1.5]$.

г) $y = \tan x + \cot x$

Преобразуем данное выражение. Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус. $y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

Приведем дроби к общему знаменателю: $y = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Подставим это в наше выражение: $y = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$

Теперь найдем область значений этой функции. Область значений $\sin(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Однако, исходная функция $y = \tan x + \cot x$ не определена, когда $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$. Это означает, что их произведение $\sin x \cos x$ не должно быть равно нулю, а значит и $\sin(2x) \ne 0$. Таким образом, знаменатель $\sin(2x)$ может принимать любые значения из множества $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin(2x)$ принимает значения из интервала $(0, 1]$, то $y = \frac{2}{\sin(2x)}$ принимает значения от $\frac{2}{1} = 2$ до $+\infty$. То есть, $y \in [2, +\infty)$.
2. Если $\sin(2x)$ принимает значения из интервала $[-1, 0)$, то $y = \frac{2}{\sin(2x)}$ принимает значения от $-\infty$ до $\frac{2}{-1} = -2$. То есть, $y \in (-\infty, -2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем итоговую область значений.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.