Номер 103, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 103, страница 292.

Условие.

103. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума, точки минимума функции:

а) $y = 1 + \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = \frac{2}{1-\cos x};$

в) $y = 0,5 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right);$

г) $y = \sqrt{1-\sin^2 x}.$

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = 1 + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

1. Область определения функции:
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
Найдем производную функции $y$ по $x$:
$y' = \left(1 + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = 0 + \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{6}\right)' = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

3. Нахождение критических точек:
Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует всюду. Найдем точки, где $y' = 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{3\pi + \pi}{6} + \pi k = \frac{4\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Исследуем знак производной $y' = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ на интервалах, образованных критическими точками.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Промежутки возрастания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точки максимума.
В точках $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1)$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $y = \frac{2}{1 - \cos x}$

1. Область определения функции:
Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1 \implies x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \mathbb{R} \setminus \{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Нахождение производной:
Используем правило дифференцирования частного или степенной функции $y = 2(1 - \cos x)^{-1}$:
$y' = 2 \cdot (-1)(1 - \cos x)^{-2} \cdot (1 - \cos x)' = -2(1 - \cos x)^{-2} \cdot (\sin x) = -\frac{2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.

3. Нахождение критических точек:
Производная существует во всей области определения функции. Найдем точки, где $y' = 0$:
$-\frac{2\sin x}{(1 - \cos x)^2} = 0$
$-2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Учитывая область определения, исключаем точки $x = 2\pi k$. Таким образом, критическими являются точки $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Знак производной $y'$ зависит от знака числителя $-2\sin x$, так как знаменатель $(1 - \cos x)^2$ всегда положителен в области определения.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$-2\sin x > 0 \implies \sin x < 0$.
Это выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$-2\sin x < 0 \implies \sin x > 0$.
Это выполняется на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \pi + 2\pi k$ знак производной меняется с «−» на «+». Следовательно, это точки минимума.
Точек максимума у функции нет.

Ответ:
Промежутки возрастания: $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: нет.
Точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

в) $y = 0,5 \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)$

1. Преобразование и область определения:
Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, можно записать: $y = 0,5 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
$y' = 0,5 \cdot \left(-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)' = -0,5 \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 2 = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

3. Нахождение критических точек:
$y' = 0 \implies -\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$2x - \frac{\pi}{3} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Знак производной $y'$ противоположен знаку $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < 0$.
$\pi + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \frac{7\pi}{6} + \pi n$.
Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{7\pi}{6} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > 0$.
$2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ знак производной меняется с «−» на «+» (с учетом периода $\pi n$). Но посмотрим на концы интервалов: убывание сменяется возрастанием в точках $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$ — это точки минимума. Возрастание сменяется убыванием в точках $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(n+1)$ — это точки максимума. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + \pi k, \frac{7\pi}{6} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

г) $y = \sqrt{1 - \sin^2 x}$

1. Преобразование и область определения:
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.
Тогда $y = \sqrt{\cos^2 x}$. Важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $y = |\cos x|$.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
Функция $y = |\cos x|$ не дифференцируема в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти точки являются критическими.
В остальных точках производную можно найти по правилу дифференцирования сложной функции: $y' = (|u|)' \cdot u'$, где $u = \cos x$.
$y' = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot \operatorname{sgn}(\cos x)$, где $\operatorname{sgn}$ — функция знака.

3. Нахождение критических точек:
Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.
Производная не существует при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Производная равна нулю, когда $\sin x = 0$ (и $\cos x \neq 0$), то есть при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Итак, все критические точки: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Исследуем знак производной $y' = -\sin x \cdot \operatorname{sgn}(\cos x)$ на интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
- На интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$: $\sin x > 0, \cos x < 0$. $y' = - (+) \cdot (-) = +$.
- На интервале $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$: $\sin x < 0, \cos x > 0$. $y' = - (-) \cdot (+) = +$.
Объединяя, получаем промежутки возрастания: $\left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
- На интервале $(2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$: $\sin x > 0, \cos x > 0$. $y' = - (+) \cdot (+) = -$.
- На интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$: $\sin x < 0, \cos x < 0$. $y' = - (-) \cdot (-) = -$.
Объединяя, получаем промежутки убывания: $\left[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \pi k$ производная меняет знак с «+» на «−» (если смотреть на окрестность точки), либо равна 0, а функция достигает своего максимального значения $y=1$. Это точки максимума.
В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ производная меняет знак с «−» на «+», в этих точках функция имеет излом (острый минимум) и достигает минимального значения $y=0$. Это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.