Номер 96, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 96, страница 290.

Условие.

Найдите область определения каждой из функций (96, 97).

96.

a) $y = \frac{2}{\cos^2 x};$

б) $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x};$

в) $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}};$

г) $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Область определения функции $y = \frac{2}{\cos^2 x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, мы должны решить неравенство:

$\cos^2 x \neq 0$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$\cos x \neq 0$

Функция косинус равна нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, где $\cos x = 0$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x}$ область определения также задается условием, что знаменатель не равен нулю:

$1 + 2 \sin 2x \neq 0$

Преобразуем неравенство:

$2 \sin 2x \neq -1$

$\sin 2x \neq -\frac{1}{2}$

Решим уравнение $\sin t = -\frac{1}{2}$, где $t = 2x$. Общее решение этого уравнения имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$t = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Подставляя обратно $2x$ вместо $t$, находим значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:

$2x \neq (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}}$. Область определения функции определяется условием неравенства знаменателя нулю:

$\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2} \neq 0$

Решим это неравенство:

$\sqrt{3} \cos x \neq \frac{3}{2}$

$\cos x \neq \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим правую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, условие принимает вид:

$\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значения $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находятся по формуле $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то значения, которые нужно исключить, равны:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для функции $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ знаменатель не должен обращаться в ноль:

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \neq 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Применив эту формулу для $\alpha = \frac{x}{2}$, получим:

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \sin x$

Таким образом, исходное условие эквивалентно следующему:

$\frac{1}{2} \sin x \neq 0$

или просто

$\sin x \neq 0$

Функция синус равна нулю в точках $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.

Ответ: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.