Номер 96, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 96, страница 290.
№96 (с. 290)
Условие. №96 (с. 290)
скриншот условия

Найдите область определения каждой из функций (96, 97).
96.
a) $y = \frac{2}{\cos^2 x};$
б) $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x};$
в) $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}};$
г) $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}.$
Решение 1. №96 (с. 290)

Решение 3. №96 (с. 290)

Решение 5. №96 (с. 290)
а) Область определения функции $y = \frac{2}{\cos^2 x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$\cos^2 x \neq 0$
Это неравенство эквивалентно следующему:
$\cos x \neq 0$
Функция косинус равна нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, где $\cos x = 0$.
Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) Для функции $y = \frac{1}{1 + 2 \sin 2x}$ область определения также задается условием, что знаменатель не равен нулю:
$1 + 2 \sin 2x \neq 0$
Преобразуем неравенство:
$2 \sin 2x \neq -1$
$\sin 2x \neq -\frac{1}{2}$
Решим уравнение $\sin t = -\frac{1}{2}$, где $t = 2x$. Общее решение этого уравнения имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$t = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
Подставляя обратно $2x$ вместо $t$, находим значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:
$2x \neq (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x \neq \frac{(-1)^{n+1} \pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
в) Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2}}$. Область определения функции определяется условием неравенства знаменателя нулю:
$\sqrt{3} \cos x - \frac{3}{2} \neq 0$
Решим это неравенство:
$\sqrt{3} \cos x \neq \frac{3}{2}$
$\cos x \neq \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Упростим правую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, условие принимает вид:
$\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Значения $x$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находятся по формуле $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то значения, которые нужно исключить, равны:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) Для функции $y = \frac{x}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ знаменатель не должен обращаться в ноль:
$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \neq 0$
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.
Применив эту формулу для $\alpha = \frac{x}{2}$, получим:
$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \sin x$
Таким образом, исходное условие эквивалентно следующему:
$\frac{1}{2} \sin x \neq 0$
или просто
$\sin x \neq 0$
Функция синус равна нулю в точках $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 96 расположенного на странице 290 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №96 (с. 290), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.