Номер 92, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 92, страница 290.

Условие.

92. По графику квадратичной функции (рис. 152) определите знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$ и дискриминанта $D$.

а) б) в) г) д) е) Рис. 152

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ и дискриминанта $D$ квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ по ее графику (параболе) используются следующие правила:

1. Знак коэффициента $a$: Если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.
2. Знак коэффициента $c$: Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если точка пересечения выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже — $c < 0$; если в начале координат — $c = 0$.
3. Знак коэффициента $b$: Знак $b$ связан с абсциссой вершины параболы $x_0 = -b/(2a)$. Отсюда $b = -2ax_0$. Знак $b$ противоположен знаку $a$, если вершина находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), и совпадает со знаком $a$, если вершина в левой полуплоскости ($x_0 < 0$). Если вершина на оси $Oy$ ($x_0=0$), то $b=0$.
4. Знак дискриминанта $D$: Знак $D=b^2-4ac$ определяется по количеству точек пересечения параболы с осью $Ox$. Если парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках, то $D > 0$. Если она касается оси $Ox$ в одной точке (в вершине), то $D = 0$. Если парабола не имеет общих точек с осью $Ox$, то $D < 0$.

Применим эти правила для каждого из представленных графиков.

а)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a > 0$, то $b < 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

б)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит в начале координат, значит $c = 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a < 0$, то $b > 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b > 0, c = 0, D > 0$.

в)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y > 0$, значит $c > 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), поэтому $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$. Так как $a > 0$, то $b < 0$. Парабола не имеет пересечений с осью $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0, D < 0$.

г)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a < 0$, то и $b < 0$. Парабола имеет два пересечения с осью $Ox$, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D > 0$.

д)

Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y < 0$, значит $c < 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a < 0$, то и $b < 0$. Парабола не имеет пересечений с осью $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a < 0, b < 0, c < 0, D < 0$.

е)

Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Пересечение с осью $Oy$ происходит при $y > 0$, значит $c > 0$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), поэтому знаки $a$ и $b$ совпадают. Так как $a > 0$, то и $b > 0$. Парабола касается оси $Ox$ в одной точке, следовательно, $D = 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c > 0, D = 0$.