Номер 87, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 87, страница 289.

Условие.

87. Имеют ли общие точки графики функций:

a) $y = x^2$ и $y = x + 6$;

б) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4 (x + 1)$;

в) $y = x^4$ и $y = 2x^2 + 1$;

г) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = x^2 - 2?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы определить, имеют ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$ общие точки, необходимо найти решения системы уравнений. Для этого приравняем правые части выражений для $y$:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Наличие действительных корней у этого уравнения означает наличие общих точек у графиков. Проверим это с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: да, имеют.

б)

Для нахождения общих точек графиков функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$ приравняем их правые части. Заметим, что для первой функции область определения $x \neq 0$.

$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$

$\frac{3}{x} = 4x + 4$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы помним, что $x \neq 0$):

$3 = 4x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Поскольку $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Ни один из этих корней не равен нулю, так как при подстановке $x=0$ в уравнение получаем $-3 = 0$, что неверно. Таким образом, оба решения удовлетворяют области определения, и графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, имеют.

в)

Чтобы найти общие точки графиков функций $y = x^4$ и $y = 2x^2 + 1$, приравняем их правые части:

$x^4 = 2x^2 + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - 2x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Мы получили два значения для $t$: $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $t_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим их на соответствие условию $t \ge 0$.

1. $t_1 = 1 + \sqrt{2}$. Это значение положительно, так что оно является допустимым. Уравнение $x^2 = 1 + \sqrt{2}$ имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.

2. $t_2 = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, это значение отрицательно. Оно не является допустимым, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Поскольку мы нашли действительные решения для $x$, графики функций имеют общие точки.

Ответ: да, имеют.

г)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = x^2 - 2$. Область определения первой функции: $x \neq 0$. Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x^2} = x^2 - 2$

Выполним замену переменной, пусть $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t$ должно быть строго больше нуля: $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = t - 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t > 0$):

$1 = t^2 - 2t$

Запишем в стандартном виде:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Это уравнение идентично тому, что мы решали в пункте в). Его корни: $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $t_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим их на соответствие условию $t > 0$.

1. $t_1 = 1 + \sqrt{2} > 0$. Корень подходит. Уравнение $x^2 = 1 + \sqrt{2}$ имеет два действительных корня.

2. $t_2 = 1 - \sqrt{2} < 0$. Корень не подходит.

Так как существует допустимое положительное значение $t$, которое дает действительные решения для $x$, графики данных функций имеют общие точки.

Ответ: да, имеют.