Страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

78. Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$;

б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$;

в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$;

г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$.

а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$

Данная функция является рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем три точки разрыва: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Следовательно, функция непрерывна на объединении интервалов, из которых состоит ее область определения.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$

Функция представляет собой сумму многочлена $y_1=x^2$ и дробно-рациональной функции $y_2=\frac{4}{x-1}$. Многочлен $y_1=x^2$ непрерывен на всей числовой оси. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией. Разрывы могут возникать только в точках, где хотя бы одно из слагаемых имеет разрыв. В данном случае это точки, где знаменатель дроби равен нулю.

Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва при $x=1$.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$

Данная функция является разностью двух функций: $y_1 = \frac{x}{2}$ и $y_2 = \frac{2}{x}$. Первая функция, $y_1$, является линейной и непрерывна на всей числовой оси. Вторая функция, $y_2$, является дробно-рациональной и имеет разрыв в точке, где ее знаменатель обращается в ноль.

Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель второго слагаемого к нулю:

$x = 0$

Следовательно, исходная функция непрерывна везде, кроме точки $x=0$.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$

Эта рациональная функция непрерывна везде, где ее знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя, решив уравнение:

$3x^3 - 2x^2 + 5 = 0$

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 5: $\pm1, \pm5$.

Подставим $x=-1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5 = 3(-1) - 2(1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0$.

Так как $x=-1$ является корнем, то многочлен в знаменателе делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или "в столбик". Получим:

$(3x^3 - 2x^2 + 5) : (x+1) = 3x^2 - 5x + 5$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x+1)(3x^2 - 5x + 5) = 0$

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 25 - 60 = -35$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль только в одной точке: $x = -1$. Это единственная точка разрыва функции.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

79. Докажите четность (нечетность) функции:

а) $y = x^3 - 3x;$

б) $y = \frac{5x^3}{1-x^2};$

в) $y = x^4 (x^2 + 2);$

г) $y = \frac{|x|+2}{x^2}.$

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а)

Рассмотрим функцию $y(x) = x^3 - 3x$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

б)

Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{5x^3}{1 - x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{5(-x)^3}{1 - (-x)^2} = \frac{-5x^3}{1 - x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = \frac{-5x^3}{1 - x^2} = -\frac{5x^3}{1 - x^2} = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в)

Рассмотрим функцию $y(x) = x^4(x^2 + 2)$.
Раскроем скобки для удобства: $y(x) = x^6 + 2x^4$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^6 + 2(-x)^4$.
Так как степени 6 и 4 - четные числа, то $(-x)^n = x^n$ для четного $n$.
$y(-x) = x^6 + 2x^4$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = x^6 + 2x^4 = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

г)

Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x| + 2}{(-x)^2}$.
Используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и четной степени $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2} = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

80. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

a) $y = \frac{x-1}{3x};$

б) $y = \frac{x^2-4x-5}{9-x^2};$

в) $y = 1 - \frac{2x-3}{5-x};$

г) $y = 2x^2 - 5x + 2.$

а) $y = \frac{x-1}{3x}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции, найдем ее область определения и нули.

1. Область определения функции $D(y)$.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $3x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нули функции.

Найдем значения $x$, при которых $y=0$.

$\frac{x-1}{3x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$.

При $x=1$ знаменатель $3(1)=3 \neq 0$. Значит, $x=1$ - ноль функции.

3. Метод интервалов.

Отметим на числовой оси точки, в которых функция меняет знак: ноль функции $x=1$ и точку разрыва $x=0$. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак функции в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например, $x=-1$: $y(-1) = \frac{-1-1}{3(-1)} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} > 0$.
• При $x \in (0; 1)$, например, $x=0.5$: $y(0.5) = \frac{0.5-1}{3(0.5)} = \frac{-0.5}{1.5} < 0$.
• При $x \in (1; +\infty)$, например, $x=2$: $y(2) = \frac{2-1}{3(2)} = \frac{1}{6} > 0$.

Таким образом, функция положительна при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$ и отрицательна при $x \in (0; 1)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 1)$.

б) $y = \frac{x^2-4x-5}{9-x^2}$

1. Область определения функции $D(y)$.

Знаменатель $9-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm 3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Нули функции.

Решим уравнение $y=0$, что эквивалентно $x^2-4x-5=0$ (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

Оба корня входят в область определения функции.

3. Метод интервалов.

Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = \frac{(x-5)(x+1)}{(3-x)(3+x)} = -\frac{(x-5)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$.

Отметим на числовой оси нули функции ($x=-1, x=5$) и точки разрыва ($x=-3, x=3$).

Получим интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x=-4$): $y(-4) = \frac{(-)(-)}{(-)(+)} = \frac{+}{-} < 0$.
• При $x \in (-3; -1)$ (например, $x=-2$): $y(-2) = \frac{(-)(-)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} > 0$.
• При $x \in (-1; 3)$ (например, $x=0$): $y(0) = \frac{(-)(+)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} < 0$.
• При $x \in (3; 5)$ (например, $x=4$): $y(4) = \frac{(-)(+)}{(-)(+)} = \frac{-}{-} > 0$.
• При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x=6$): $y(6) = \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = \frac{+}{-} < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; -1) \cup (3; 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 3) \cup (5; +\infty)$.

в) $y = 1 - \frac{2x-3}{5-x}$

1. Упростим выражение для функции.

$y = \frac{5-x}{5-x} - \frac{2x-3}{5-x} = \frac{(5-x) - (2x-3)}{5-x} = \frac{5-x-2x+3}{5-x} = \frac{8-3x}{5-x}$.

2. Область определения.

Знаменатель $5-x \neq 0 \implies x \neq 5$.

$D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3. Нули функции.

Решим уравнение $\frac{8-3x}{5-x} = 0$.

$8-3x=0 \implies 3x=8 \implies x = \frac{8}{3}$.

4. Метод интервалов.

Точки, разбивающие числовую ось: $x=\frac{8}{3}$ и $x=5$.

Интервалы: $(-\infty; \frac{8}{3})$, $(\frac{8}{3}; 5)$, $(5; +\infty)$.

Функция: $y = \frac{8-3x}{5-x}$.

• При $x \in (-\infty; \frac{8}{3})$ (например, $x=0$): $y(0) = \frac{8}{5} > 0$.
• При $x \in (\frac{8}{3}; 5)$ (например, $x=3$): $y(3) = \frac{8-9}{5-3} = \frac{-1}{2} < 0$.
• При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x=6$): $y(6) = \frac{8-18}{5-6} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{8}{3}) \cup (5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{8}{3}; 5)$.

г) $y = 2x^2 - 5x + 2$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола. Знак функции зависит от направления ветвей параболы и ее нулей.

1. Область определения.

Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нули функции.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Определение знаков.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, он положителен ($a>0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Следовательно, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

Нули функции $x=\frac{1}{2}$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; 2)$, $(2; +\infty)$.

• $y > 0$ на интервалах $(-\infty; \frac{1}{2})$ и $(2; +\infty)$.
• $y < 0$ на интервале $(\frac{1}{2}; 2)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{1}{2}; 2)$.

81. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума и точки минимума функции:

а) $y = 4x^2 + 3x - 1;$

б) $y = 1 - \frac{2}{x};$

в) $y = (x - 1)^4 - 2;$

г) $y = \frac{x+4}{x-1}.$

а) Для исследования функции $y = 4x^2 + 3x - 1$ на монотонность и экстремумы, найдем ее производную. Область определения функции – все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (4x^2 + 3x - 1)' = 8x + 3$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.

$8x + 3 = 0 \implies x = -3/8$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка $x = -3/8$ разбивает числовую ось. Если $x < -3/8$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y' = -5$), следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -3/8]$. Если $x > -3/8$, то $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y' = 3$), следовательно, функция возрастает на промежутке $[-3/8, +\infty)$.

В точке $x = -3/8$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3/8; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -3/8]$, точка минимума $x_{min} = -3/8$, точек максимума нет.

б) Для функции $y = 1 - \frac{2}{x}$, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

Находим производную функции, представив ее в виде $y = 1 - 2x^{-1}$:

$y' = (1 - 2x^{-1})' = 0 - 2(-1)x^{-2} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

Определим знак производной. Так как $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' = \frac{2}{x^2} > 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек максимума и минимума нет.

в) Для функции $y = (x - 1)^4 - 2$, область определения – все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((x - 1)^4 - 2)' = 4(x - 1)^3 \cdot (x-1)' = 4(x - 1)^3$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.

$4(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Если $x < 1$, то $(x-1) < 0$, и $(x-1)^3 < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$. Если $x > 1$, то $(x-1) > 0$, и $(x-1)^3 > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Точек максимума нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, точка минимума $x_{min} = 1$, точек максимума нет.

г) Для функции $y = \frac{x+4}{x-1}$, область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 1$).

Находим производную, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x+4}{x-1}\right)' = \frac{(x+4)'(x-1) - (x+4)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+4) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 4}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{-5}{(x-1)^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции. Таким образом, критических точек нет.

Определим знак производной. Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения, а числитель равен -5. Следовательно, $y' = \frac{-5}{(x-1)^2} < 0$ на всей области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения. Точек максимума и минимума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, точек максимума и минимума нет.

Исследуйте функцию и постройте ее график (82, 83):

82. а) $y = 3x - 5;$

б) $y = 2x^2 - 7x + 3;$

в) $y = 2 - \frac{1}{4}x;$

г) $y = 12 - 4x - x^2.$

а) $y = 3x - 5$

1. Исследование функции:

• Вид функции: Это линейная функция вида $y=kx+b$, где угловой коэффициент $k=3$, а $b=-5$. Ее график — прямая линия.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как $k \ne 0$.
• Монотонность: Так как угловой коэффициент $k=3 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = 3 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения: $(0, -5)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = 3x - 5 \implies 3x = 5 \implies x = 5/3$. Точка пересечения: $(5/3, 0)$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как $y(-x) = 3(-x) - 5 = -3x-5$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

2. Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже нашли точки пересечения с осями: $(0, -5)$ и $(5/3, 0)$. Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую. Для контроля можно взять еще одну точку, например, при $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$, точка $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(5/3, 0)$, возрастающая на всей числовой оси.

б) $y = 2x^2 - 7x + 3$

1. Исследование функции:

• Вид функции: Это квадратичная функция вида $y=ax^2+bx+c$, где $a=2, b=-7, c=3$. Ее график — парабола.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Направление ветвей: Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:
  • $x_v = -b/(2a) = -(-7)/(2 \cdot 2) = 7/4 = 1.75$
  • $y_v = 2(7/4)^2 - 7(7/4) + 3 = 2(49/16) - 49/4 + 3 = 49/8 - 98/8 + 24/8 = -25/8 = -3.125$
• Вершина находится в точке $(1.75, -3.125)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = x_v$, то есть $x = 1.75$.
• Область значений: Так как ветви направлены вверх, функция имеет минимум в вершине. $E(y) = [y_v; +\infty) = [-3.125; +\infty)$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = 2 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
    Дискриминант $D = b^2-4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
    Корни: $x_{1,2} = (7 \pm \sqrt{25})/(2 \cdot 2) = (7 \pm 5)/4$.
    $x_1 = (7-5)/4 = 1/2 = 0.5$, $x_2 = (7+5)/4 = 12/4 = 3$.
    Точки пересечения: $(0.5, 0)$ и $(3, 0)$.

2. Построение графика:

Отмечаем на координатной плоскости ключевые точки: вершину $(1.75, -3.125)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 3)$ и точки пересечения с осью Ox $(0.5, 0)$ и $(3, 0)$. Используя ось симметрии $x=1.75$, находим точку, симметричную точке $(0, 3)$ - это будет точка $(3.5, 3)$. Соединяем все точки плавной кривой, получая параболу с ветвями вверх.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1.75, -3.125)$ и пересекающая оси координат в точках $(0, 3)$, $(0.5, 0)$ и $(3, 0)$.

в) $y = 2 - \frac{1}{4}x$

1. Исследование функции:

• Вид функции: Это линейная функция. Запишем в стандартном виде $y = - \frac{1}{4}x + 2$. Угловой коэффициент $k = -1/4$, $b=2$. График — прямая линия.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как угловой коэффициент $k = -1/4 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = 2 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 2$. Точка пересечения: $(0, 2)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 - \frac{1}{4}x \implies \frac{1}{4}x = 2 \implies x = 8$. Точка пересечения: $(8, 0)$.

2. Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Используем найденные точки пересечения с осями: $(0, 2)$ и $(8, 0)$. Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(8, 0)$, убывающая на всей числовой оси.

г) $y = 12 - 4x - x^2$

1. Исследование функции:

• Вид функции: Это квадратичная функция. Запишем в стандартном виде $y = -x^2 - 4x + 12$, где $a=-1, b=-4, c=12$. График — парабола.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Направление ветвей: Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы: Координаты вершины $(x_v, y_v)$:
  • $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot (-1)) = 4/(-2) = -2$
  • $y_v = 12 - 4(-2) - (-2)^2 = 12 + 8 - 4 = 16$
• Вершина находится в точке $(-2, 16)$.
• Ось симметрии: Прямая $x = -2$.
• Область значений: Так как ветви направлены вниз, функция имеет максимум в вершине. $E(y) = (-\infty; y_v] = (-\infty; 16]$.
• Точки пересечения с осями координат:
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = 12 - 4 \cdot 0 - 0^2 = 12$. Точка пересечения: $(0, 12)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 4x + 12 = 0 \implies x^2 + 4x - 12 = 0$.
    По теореме Виета (или через дискриминант): $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -12$.
    Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 2$.
    Точки пересечения: $(-6, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построение графика:

Отмечаем на координатной плоскости ключевые точки: вершину $(-2, 16)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 12)$ и точки пересечения с осью Ox $(-6, 0)$ и $(2, 0)$. Используя ось симметрии $x=-2$, находим точку, симметричную точке $(0, 12)$ - это будет точка $(-4, 12)$. Соединяем все точки плавной кривой, получая параболу с ветвями вниз.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(-2, 16)$ и пересекающая оси координат в точках $(0, 12)$, $(-6, 0)$ и $(2, 0)$.

83. a) $y = 2 - \frac{3}{x+1}$;

б) $y = (x - 2)^3 - 1$;

в) $y = \frac{x^4 + 1}{x^4}$;

г) $y = 4 - (x + 2)^4$.

а) $y = 2 - \frac{3}{x+1}$

Данная функция является дробно-рациональной. Её график — это гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 1 единицу влево по оси абсцисс (Ox) и сдвиг на 2 единицы вверх по оси ординат (Oy). Асимптотами графика являются прямые $x = -1$ и $y = 2$.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Для этого выразим переменную $x$ через $y$:

$y = 2 - \frac{3}{x+1}$

$y - 2 = - \frac{3}{x+1}$

$\frac{3}{x+1} = 2 - y$

$x+1 = \frac{3}{2-y}$

$x = \frac{3}{2-y} - 1$.

Из полученного выражения видно, что оно определено для всех значений $y$, при которых знаменатель $2-y$ не равен нулю.

$2 - y \neq 0 \implies y \neq 2$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $y = (x-2)^3 - 1$

Данная функция является кубической. Её график — кубическая парабола, полученная из графика функции $y = x^3$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Выражение $(x-2)^3 - 1$ является многочленом и определено для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Исходная функция $y=x^3$ имеет область значений $(-\infty; +\infty)$. Сдвиги графика влево/вправо и вверх/вниз не изменяют область значений кубической функции.

Проверим это, выразив $x$ через $y$:

$y+1 = (x-2)^3$

$x-2 = \sqrt[3]{y+1}$

$x = \sqrt[3]{y+1} + 2$.

Так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа, переменная $y$ может принимать любые значения.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{x^4 + 1}{x^4}$

Для удобства анализа преобразуем данную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x^4}{x^4} + \frac{1}{x^4} = 1 + \frac{1}{x^4}$.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.

$x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Поскольку $x \neq 0$, выражение $x^4$ (четвертая степень) всегда будет строго положительным: $x^4 > 0$.

Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго положительной: $\frac{1}{x^4} > 0$.

Тогда вся функция $y = 1 + \frac{1}{x^4}$ будет принимать значения, строго большие 1.

$y > 1$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (1; +\infty)$.

г) $y = 4 - (x+2)^4$

Данная функция является полиномиальной четвертой степени. Ее график можно получить из графика функции $y = x^4$ путем следующих преобразований: сдвиг на 2 единицы влево, отражение относительно оси Ox, сдвиг на 4 единицы вверх. Вершина параболы будет в точке $(-2; 4)$, а ветви будут направлены вниз.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Выражение $4 - (x+2)^4$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Выражение $(x+2)^4$, как четная степень, всегда неотрицательно:

$(x+2)^4 \ge 0$.

Умножив неравенство на -1, изменим знак неравенства:

$-(x+2)^4 \le 0$.

Теперь прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 - (x+2)^4 \le 4$.

Это означает, что $y \le 4$. Максимальное значение функции равно 4 и достигается при $x = -2$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

Постройте график каждой из функций (84–86).

84. а) $y = 3x - 2;$

б) $y = x^2 - 4x - 5;$

в) $y = \frac{1}{x} - 1;$

г) $y = x^3 + 2.$

а) Функция $y = 3x - 2$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. Выберем произвольное значение $x$, например $x=0$. Подставим его в уравнение функции: $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Первая точка имеет координаты $(0, -2)$.
2. Выберем другое значение $x$, например $x=2$. Подставим его в уравнение: $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Вторая точка имеет координаты $(2, 4)$.
Теперь отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.
Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

б) Функция $y = x^2 - 4x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля ($a>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.
2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 4x - 5 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5$. Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.
3. Для более точного построения найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$. Её абсцисса будет $x = 4$, а ордината та же: $y=-5$. Точка $(4, -5)$.
Отметим вершину, точки пересечения с осями и симметричную точку, после чего соединим их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

в) Функция $y = \frac{1}{x} - 1$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз по оси Oy.
1. Асимптоты графика. У базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вертикальная асимптота — $x=0$, а горизонтальная — $y=0$. При сдвиге вниз на 1, вертикальная асимптота не меняется, а горизонтальная смещается.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
2. Найдем несколько точек для построения каждой ветви гиперболы.
Для ветви в I и IV четвертях (относительно асимптот):
При $x=1$, $y = \frac{1}{1} - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2} - 1 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
При $x=0.5$, $y = \frac{1}{0.5} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(0.5, 1)$.
Для ветви во II и III четвертях (относительно асимптот):
При $x=-1$, $y = \frac{1}{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
При $x=-2$, $y = \frac{1}{-2} - 1 = -1.5$. Точка $(-2, -1.5)$.
При $x=-0.5$, $y = \frac{1}{-0.5} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-0.5, -3)$.
Начертим асимптоты, отметим вычисленные точки и проведем через них две ветви гиперболы.
Ответ: График функции — гипербола, с асимптотами $x=0$ и $y=-1$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(0, -1)$.

г) Функция $y = x^3 + 2$ является кубической. Ее график можно получить из графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
1. Центр симметрии графика функции $y = x^3$ находится в точке $(0, 0)$. Для функции $y = x^3 + 2$ центр симметрии смещается в точку $(0, 2)$.
2. Найдем несколько точек для построения графика.
При $x=0$, $y = 0^3 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ — центр симметрии.
При $x=1$, $y = 1^3 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
При $x=-1$, $y = (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
При $x=2$, $y = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка $(2, 10)$.
При $x=-2$, $y = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка $(-2, -6)$.
3. Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$. Точка $(\sqrt[3]{-2}, 0)$.
Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, характерной для кубической параболы.
Ответ: График функции — кубическая парабола, полученная сдвигом графика $y = x^3$ на 2 единицы вверх. Центр симметрии графика находится в точке $(0, 2)$, график проходит через точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$.

85. а) $y = 3x + |x|;$

б) $y = |-x^2 - x + 2|;$

в) $y = 2x - |x - 3|;$

г) $y = x^2 - 4|x| + 3.$

а) Чтобы раскрыть модуль в функции $y = 3x + |x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = 3x + x = 4x$.
На этом промежутке график функции совпадает с прямой $y = 4x$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = 3x + (-x) = 2x$.
На этом промежутке график функции совпадает с прямой $y = 2x$.
Таким образом, данная функция является кусочно-линейной и ее можно представить в виде системы:
Ответ: $y = \begin{cases} 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ 2x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) В данной функции $y = |-x^2 - x + 2|$ под знаком модуля находится квадратичная функция $f(x) = -x^2 - x + 2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. По определению модуля, $y = f(x)$, если $f(x) \ge 0$, и $y = -f(x)$, если $f(x) < 0$.
Найдем корни уравнения $-x^2 - x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-2, 1]$ и $f(x) < 0$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, \infty)$.
1. Если $x \in [-2, 1]$, то $y = -x^2 - x + 2$.
2. Если $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$, то $y = -(-x^2 - x + 2) = x^2 + x - 2$.
Таким образом, график исходной функции состоит из части параболы, отраженной относительно оси абсцисс, и части исходной параболы.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 - x + 2, & \text{при } x \in [-2, 1] \\ x^2 + x - 2, & \text{при } x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \end{cases}$

в) Для раскрытия модуля в функции $y = 2x - |x - 3|$ рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x-3$.
Критическая точка: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
1. Если $x \ge 3$, то $x - 3 \ge 0$, и $|x - 3| = x - 3$. Подставляем в функцию:
$y = 2x - (x - 3) = 2x - x + 3 = x + 3$.
2. Если $x < 3$, то $x - 3 < 0$, и $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Подставляем в функцию:
$y = 2x - (-x + 3) = 2x + x - 3 = 3x - 3$.
Функция является кусочно-линейной. В точке $x=3$ происходит "излом" графика. Значение функции в этой точке: $y(3) = 3 + 3 = 6$.
Ответ: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{при } x \ge 3 \\ 3x - 3, & \text{при } x < 3 \end{cases}$

г) Функция $y = x^2 - 4|x| + 3$ содержит $|x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, то можно переписать функцию как $y = |x|^2 - 4|x| + 3$. Это означает, что функция является четной, то есть $y(x) = y(-x)$, и ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Для $x \ge 0$ мы строим правую часть этой параболы.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.
Это также парабола с ветвями вверх. Для $x < 0$ мы строим левую часть этой параболы.
Объединив эти два случая, получаем итоговую функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 4x + 3, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

86. a) $y = \frac{x+1}{|x|}$;

б) $y = \frac{1}{x^2} + 2$;

в) $y = \frac{|x|-2}{x}$;

г) $y = \frac{2x^3-1}{x^3}$.

а) $y = \frac{x+1}{|x|}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)+1}{|-x|} = \frac{1-x}{|x|}$.
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(x) = \frac{x+1}{|x|}$
$-y(x) = -\frac{x+1}{|x|} = \frac{-x-1}{|x|}$
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{-x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$.
Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1 - \frac{1}{x}) = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция ни четная, ни нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальные асимптоты: $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.

б) $y = \frac{1}{x^2} + 2$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} + 2 = \frac{1}{x^2} + 2 = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем предел:
$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^2} + 2) = +\infty$.
Так как предел в точке $x=0$ бесконечен, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{1}{x^2} + 2) = 0 + 2 = 2$.
Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция четная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

в) $y = \frac{|x|-2}{x}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x|-2}{-x} = \frac{|x|-2}{-x} = - \frac{|x|-2}{x} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x-2}{x} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x-2}{x} = \lim_{x \to 0^-} (-1 - \frac{2}{x}) = -1 - (-\infty) = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{2}{x}) = 1$.
Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x-2}{x} = \lim_{x \to -\infty} (-1 - \frac{2}{x}) = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальные асимптоты: $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.

г) $y = \frac{2x^3 - 1}{x^3}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{2(-x)^3 - 1}{(-x)^3} = \frac{-2x^3 - 1}{-x^3} = \frac{2x^3 + 1}{x^3}$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Нахождение асимптот.
Преобразуем функцию для удобства: $y = \frac{2x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 2 - \frac{1}{x^3}$.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - \frac{1}{0^+} = 2 - \infty = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - \frac{1}{0^-} = 2 - (-\infty) = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - 0 = 2$.
Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция ни четная, ни нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

87. Имеют ли общие точки графики функций:

a) $y = x^2$ и $y = x + 6$;

б) $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4 (x + 1)$;

в) $y = x^4$ и $y = 2x^2 + 1$;

г) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = x^2 - 2?

а)

Чтобы определить, имеют ли графики функций $y = x^2$ и $y = x + 6$ общие точки, необходимо найти решения системы уравнений. Для этого приравняем правые части выражений для $y$:

$x^2 = x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Наличие действительных корней у этого уравнения означает наличие общих точек у графиков. Проверим это с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: да, имеют.

б)

Для нахождения общих точек графиков функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$ приравняем их правые части. Заметим, что для первой функции область определения $x \neq 0$.

$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$

$\frac{3}{x} = 4x + 4$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы помним, что $x \neq 0$):

$3 = 4x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

Поскольку $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Ни один из этих корней не равен нулю, так как при подстановке $x=0$ в уравнение получаем $-3 = 0$, что неверно. Таким образом, оба решения удовлетворяют области определения, и графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, имеют.

в)

Чтобы найти общие точки графиков функций $y = x^4$ и $y = 2x^2 + 1$, приравняем их правые части:

$x^4 = 2x^2 + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - 2x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Мы получили два значения для $t$: $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $t_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим их на соответствие условию $t \ge 0$.

1. $t_1 = 1 + \sqrt{2}$. Это значение положительно, так что оно является допустимым. Уравнение $x^2 = 1 + \sqrt{2}$ имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.

2. $t_2 = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, это значение отрицательно. Оно не является допустимым, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Поскольку мы нашли действительные решения для $x$, графики функций имеют общие точки.

Ответ: да, имеют.

г)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = x^2 - 2$. Область определения первой функции: $x \neq 0$. Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{x^2} = x^2 - 2$

Выполним замену переменной, пусть $t = x^2$. Так как $x \neq 0$, то $t$ должно быть строго больше нуля: $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} = t - 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t > 0$):

$1 = t^2 - 2t$

Запишем в стандартном виде:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

Это уравнение идентично тому, что мы решали в пункте в). Его корни: $t_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $t_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим их на соответствие условию $t > 0$.

1. $t_1 = 1 + \sqrt{2} > 0$. Корень подходит. Уравнение $x^2 = 1 + \sqrt{2}$ имеет два действительных корня.

2. $t_2 = 1 - \sqrt{2} < 0$. Корень не подходит.

Так как существует допустимое положительное значение $t$, которое дает действительные решения для $x$, графики данных функций имеют общие точки.

Ответ: да, имеют.