Номер 86, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 86, страница 289.

Условие.

86. a) $y = \frac{x+1}{|x|}$;

б) $y = \frac{1}{x^2} + 2$;

в) $y = \frac{|x|-2}{x}$;

г) $y = \frac{2x^3-1}{x^3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{x+1}{|x|}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{(-x)+1}{|-x|} = \frac{1-x}{|x|}$.
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(x) = \frac{x+1}{|x|}$
$-y(x) = -\frac{x+1}{|x|} = \frac{-x-1}{|x|}$
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x+1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x+1}{-x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$.
Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1 - \frac{1}{x}) = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция ни четная, ни нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальные асимптоты: $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.

б) $y = \frac{1}{x^2} + 2$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} + 2 = \frac{1}{x^2} + 2 = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем предел:
$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^2} + 2) = +\infty$.
Так как предел в точке $x=0$ бесконечен, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{1}{x^2} + 2) = 0 + 2 = 2$.
Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция четная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

в) $y = \frac{|x|-2}{x}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x|-2}{-x} = \frac{|x|-2}{-x} = - \frac{|x|-2}{x} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение асимптот.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x-2}{x} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x-2}{x} = \lim_{x \to 0^-} (-1 - \frac{2}{x}) = -1 - (-\infty) = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{2}{x}) = 1$.
Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{|x|-2}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x-2}{x} = \lim_{x \to -\infty} (-1 - \frac{2}{x}) = -1$.
Следовательно, прямая $y=-1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальные асимптоты: $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.

г) $y = \frac{2x^3 - 1}{x^3}$

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Исследование на четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = \frac{2(-x)^3 - 1}{(-x)^3} = \frac{-2x^3 - 1}{-x^3} = \frac{2x^3 + 1}{x^3}$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Нахождение асимптот.
Преобразуем функцию для удобства: $y = \frac{2x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 2 - \frac{1}{x^3}$.
Вертикальные асимптоты. Ищем в точке разрыва $x=0$. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^+} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - \frac{1}{0^+} = 2 - \infty = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - \frac{1}{0^-} = 2 - (-\infty) = +\infty$.
Так как пределы в точке $x=0$ бесконечны, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты. Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{1}{x^3}) = 2 - 0 = 2$.
Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция ни четная, ни нечетная. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.