Номер 83, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 83, страница 289.

Условие.

83. a) $y = 2 - \frac{3}{x+1}$;

б) $y = (x - 2)^3 - 1$;

в) $y = \frac{x^4 + 1}{x^4}$;

г) $y = 4 - (x + 2)^4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = 2 - \frac{3}{x+1}$

Данная функция является дробно-рациональной. Её график — это гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем следующих преобразований: сдвиг на 1 единицу влево по оси абсцисс (Ox) и сдвиг на 2 единицы вверх по оси ординат (Oy). Асимптотами графика являются прямые $x = -1$ и $y = 2$.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Для этого выразим переменную $x$ через $y$:

$y = 2 - \frac{3}{x+1}$

$y - 2 = - \frac{3}{x+1}$

$\frac{3}{x+1} = 2 - y$

$x+1 = \frac{3}{2-y}$

$x = \frac{3}{2-y} - 1$.

Из полученного выражения видно, что оно определено для всех значений $y$, при которых знаменатель $2-y$ не равен нулю.

$2 - y \neq 0 \implies y \neq 2$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $y = (x-2)^3 - 1$

Данная функция является кубической. Её график — кубическая парабола, полученная из графика функции $y = x^3$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Выражение $(x-2)^3 - 1$ является многочленом и определено для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Исходная функция $y=x^3$ имеет область значений $(-\infty; +\infty)$. Сдвиги графика влево/вправо и вверх/вниз не изменяют область значений кубической функции.

Проверим это, выразив $x$ через $y$:

$y+1 = (x-2)^3$

$x-2 = \sqrt[3]{y+1}$

$x = \sqrt[3]{y+1} + 2$.

Так как кубический корень можно извлечь из любого действительного числа, переменная $y$ может принимать любые значения.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{x^4 + 1}{x^4}$

Для удобства анализа преобразуем данную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x^4}{x^4} + \frac{1}{x^4} = 1 + \frac{1}{x^4}$.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.

$x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Поскольку $x \neq 0$, выражение $x^4$ (четвертая степень) всегда будет строго положительным: $x^4 > 0$.

Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго положительной: $\frac{1}{x^4} > 0$.

Тогда вся функция $y = 1 + \frac{1}{x^4}$ будет принимать значения, строго большие 1.

$y > 1$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (1; +\infty)$.

г) $y = 4 - (x+2)^4$

Данная функция является полиномиальной четвертой степени. Ее график можно получить из графика функции $y = x^4$ путем следующих преобразований: сдвиг на 2 единицы влево, отражение относительно оси Ox, сдвиг на 4 единицы вверх. Вершина параболы будет в точке $(-2; 4)$, а ветви будут направлены вниз.

Найдем область определения функции ($D(y)$). Выражение $4 - (x+2)^4$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем область значений функции ($E(y)$). Выражение $(x+2)^4$, как четная степень, всегда неотрицательно:

$(x+2)^4 \ge 0$.

Умножив неравенство на -1, изменим знак неравенства:

$-(x+2)^4 \le 0$.

Теперь прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 - (x+2)^4 \le 4$.

Это означает, что $y \le 4$. Максимальное значение функции равно 4 и достигается при $x = -2$.

Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.