Номер 85, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 85, страница 289.

Условие.

85. а) $y = 3x + |x|;$

б) $y = |-x^2 - x + 2|;$

в) $y = 2x - |x - 3|;$

г) $y = x^2 - 4|x| + 3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы раскрыть модуль в функции $y = 3x + |x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = 3x + x = 4x$.
На этом промежутке график функции совпадает с прямой $y = 4x$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = 3x + (-x) = 2x$.
На этом промежутке график функции совпадает с прямой $y = 2x$.
Таким образом, данная функция является кусочно-линейной и ее можно представить в виде системы:
Ответ: $y = \begin{cases} 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ 2x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) В данной функции $y = |-x^2 - x + 2|$ под знаком модуля находится квадратичная функция $f(x) = -x^2 - x + 2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. По определению модуля, $y = f(x)$, если $f(x) \ge 0$, и $y = -f(x)$, если $f(x) < 0$.
Найдем корни уравнения $-x^2 - x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-2, 1]$ и $f(x) < 0$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, \infty)$.
1. Если $x \in [-2, 1]$, то $y = -x^2 - x + 2$.
2. Если $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$, то $y = -(-x^2 - x + 2) = x^2 + x - 2$.
Таким образом, график исходной функции состоит из части параболы, отраженной относительно оси абсцисс, и части исходной параболы.
Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 - x + 2, & \text{при } x \in [-2, 1] \\ x^2 + x - 2, & \text{при } x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \end{cases}$

в) Для раскрытия модуля в функции $y = 2x - |x - 3|$ рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x-3$.
Критическая точка: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
1. Если $x \ge 3$, то $x - 3 \ge 0$, и $|x - 3| = x - 3$. Подставляем в функцию:
$y = 2x - (x - 3) = 2x - x + 3 = x + 3$.
2. Если $x < 3$, то $x - 3 < 0$, и $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Подставляем в функцию:
$y = 2x - (-x + 3) = 2x + x - 3 = 3x - 3$.
Функция является кусочно-линейной. В точке $x=3$ происходит "излом" графика. Значение функции в этой точке: $y(3) = 3 + 3 = 6$.
Ответ: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{при } x \ge 3 \\ 3x - 3, & \text{при } x < 3 \end{cases}$

г) Функция $y = x^2 - 4|x| + 3$ содержит $|x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, то можно переписать функцию как $y = |x|^2 - 4|x| + 3$. Это означает, что функция является четной, то есть $y(x) = y(-x)$, и ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Для $x \ge 0$ мы строим правую часть этой параболы.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.
Это также парабола с ветвями вверх. Для $x < 0$ мы строим левую часть этой параболы.
Объединив эти два случая, получаем итоговую функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 4x + 3, & \text{при } x < 0 \end{cases}$