Номер 79, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 79, страница 289.

Условие.

79. Докажите четность (нечетность) функции:

а) $y = x^3 - 3x;$

б) $y = \frac{5x^3}{1-x^2};$

в) $y = x^4 (x^2 + 2);$

г) $y = \frac{|x|+2}{x^2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а)

Рассмотрим функцию $y(x) = x^3 - 3x$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

б)

Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{5x^3}{1 - x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{5(-x)^3}{1 - (-x)^2} = \frac{-5x^3}{1 - x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = \frac{-5x^3}{1 - x^2} = -\frac{5x^3}{1 - x^2} = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в)

Рассмотрим функцию $y(x) = x^4(x^2 + 2)$.
Раскроем скобки для удобства: $y(x) = x^6 + 2x^4$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^6 + 2(-x)^4$.
Так как степени 6 и 4 - четные числа, то $(-x)^n = x^n$ для четного $n$.
$y(-x) = x^6 + 2x^4$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = x^6 + 2x^4 = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

г)

Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x| + 2}{(-x)^2}$.
Используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и четной степени $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2} = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.