Номер 79, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 79, страница 289.
№79 (с. 289)
Условие. №79 (с. 289)
скриншот условия

79. Докажите четность (нечетность) функции:
а) $y = x^3 - 3x;$
б) $y = \frac{5x^3}{1-x^2};$
в) $y = x^4 (x^2 + 2);$
г) $y = \frac{|x|+2}{x^2}.$
Решение 1. №79 (с. 289)

Решение 3. №79 (с. 289)

Решение 5. №79 (с. 289)
Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:
- Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже).
- Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).
Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.
а)
Рассмотрим функцию $y(x) = x^3 - 3x$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.
б)
Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{5x^3}{1 - x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{5(-x)^3}{1 - (-x)^2} = \frac{-5x^3}{1 - x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(-x) = \frac{-5x^3}{1 - x^2} = -\frac{5x^3}{1 - x^2} = -y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.
в)
Рассмотрим функцию $y(x) = x^4(x^2 + 2)$.
Раскроем скобки для удобства: $y(x) = x^6 + 2x^4$.
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^6 + 2(-x)^4$.
Так как степени 6 и 4 - четные числа, то $(-x)^n = x^n$ для четного $n$.
$y(-x) = x^6 + 2x^4$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = x^6 + 2x^4 = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.
г)
Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x| + 2}{(-x)^2}$.
Используя свойства модуля $|-x| = |x|$ и четной степени $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2}$.
3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:
$y(-x) = \frac{|x| + 2}{x^2} = y(x)$.
Так как выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 79 расположенного на странице 289 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №79 (с. 289), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.