Номер 84, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 84, страница 289.

Условие.

Постройте график каждой из функций (84–86).

84. а) $y = 3x - 2;$

б) $y = x^2 - 4x - 5;$

в) $y = \frac{1}{x} - 1;$

г) $y = x^3 + 2.$

Решение 1.

Решение 5.

а) Функция $y = 3x - 2$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. Выберем произвольное значение $x$, например $x=0$. Подставим его в уравнение функции: $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Первая точка имеет координаты $(0, -2)$.
2. Выберем другое значение $x$, например $x=2$. Подставим его в уравнение: $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Вторая точка имеет координаты $(2, 4)$.
Теперь отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.
Ответ: График функции — прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

б) Функция $y = x^2 - 4x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля ($a>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.
2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 4x - 5 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5$. Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.
3. Для более точного построения найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$. Её абсцисса будет $x = 4$, а ордината та же: $y=-5$. Точка $(4, -5)$.
Отметим вершину, точки пересечения с осями и симметричную точку, после чего соединим их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

в) Функция $y = \frac{1}{x} - 1$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вниз по оси Oy.
1. Асимптоты графика. У базовой функции $y = \frac{1}{x}$ вертикальная асимптота — $x=0$, а горизонтальная — $y=0$. При сдвиге вниз на 1, вертикальная асимптота не меняется, а горизонтальная смещается.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
2. Найдем несколько точек для построения каждой ветви гиперболы.
Для ветви в I и IV четвертях (относительно асимптот):
При $x=1$, $y = \frac{1}{1} - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2} - 1 = -0.5$. Точка $(2, -0.5)$.
При $x=0.5$, $y = \frac{1}{0.5} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(0.5, 1)$.
Для ветви во II и III четвертях (относительно асимптот):
При $x=-1$, $y = \frac{1}{-1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
При $x=-2$, $y = \frac{1}{-2} - 1 = -1.5$. Точка $(-2, -1.5)$.
При $x=-0.5$, $y = \frac{1}{-0.5} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-0.5, -3)$.
Начертим асимптоты, отметим вычисленные точки и проведем через них две ветви гиперболы.
Ответ: График функции — гипербола, с асимптотами $x=0$ и $y=-1$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(0, -1)$.

г) Функция $y = x^3 + 2$ является кубической. Ее график можно получить из графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола) путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
1. Центр симметрии графика функции $y = x^3$ находится в точке $(0, 0)$. Для функции $y = x^3 + 2$ центр симметрии смещается в точку $(0, 2)$.
2. Найдем несколько точек для построения графика.
При $x=0$, $y = 0^3 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ — центр симметрии.
При $x=1$, $y = 1^3 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
При $x=-1$, $y = (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
При $x=2$, $y = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка $(2, 10)$.
При $x=-2$, $y = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка $(-2, -6)$.
3. Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$. Точка $(\sqrt[3]{-2}, 0)$.
Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, характерной для кубической параболы.
Ответ: График функции — кубическая парабола, полученная сдвигом графика $y = x^3$ на 2 единицы вверх. Центр симметрии графика находится в точке $(0, 2)$, график проходит через точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$.