Номер 90, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 90, страница 290.

Условие.

90. a) $x^3 = \frac{8}{x-1}$;

б) $|1-x| = 2-|x|$;

в) $x^3 = \frac{1}{x}$;

г) $|x-1| = 3-|x|$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)
Решим уравнение $x^3 = \frac{8}{x-1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на $(x-1)$:
$x^3(x-1) = 8$
$x^4 - x^3 - 8 = 0$
Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-8): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Подставим $x=2$:
$2^4 - 2^3 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^4 - x^3 - 8$ на двучлен $(x-2)$. Это можно сделать, например, делением столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получаем:
$(x-2)(x^3 + x^2 + 2x + 4) = 0$.
Теперь необходимо решить уравнение $x^3 + x^2 + 2x + 4 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 + x^2 + 2x + 4$. Ее производная $g'(x) = 3x^2 + 2x + 2$.
Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + 2x + 2$ равен $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($3>0$), производная $g'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает.
Следовательно, уравнение $g(x)=0$ может иметь не более одного действительного корня.
Найдем значение функции в некоторых точках, чтобы определить интервал, где находится корень:
$g(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + 2(-2) + 4 = -8 + 4 - 4 + 4 = -4$.
$g(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + 2(-1) + 4 = -1 + 1 - 2 + 4 = 2$.
Так как функция непрерывна и меняет знак на интервале $(-2, -1)$, она имеет на этом интервале единственный корень. Этот корень является иррациональным.
Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $x=2$; второй корень является решением уравнения $x^3 + x^2 + 2x + 4 = 0$ и лежит в интервале $(-2, -1)$.

б)
Решим уравнение $|1-x| = 2 - |x|$.
Перенесем $|x|$ в левую часть и воспользуемся свойством $|1-x| = |x-1|$:
$|x-1| + |x| = 2$.
Для раскрытия модулей применим метод интервалов. Контрольные точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.

1) При $x \le 0$:
В этом случае $|x| = -x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + (-x) = 2$
$1 - 2x = 2$
$-2x = 1$
$x = -1/2$.
Корень $x = -1/2$ удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, является решением.

2) При $0 < x \le 1$:
В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + x = 2$
$1 = 2$.
Получено неверное равенство, следовательно, в данном интервале решений нет.

3) При $x > 1$:
В этом случае $|x| = x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x-1) + x = 2$
$2x - 1 = 2$
$2x = 3$
$x = 3/2$.
Корень $x = 3/2$ удовлетворяет условию $x > 1$, значит, является решением.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -1/2$, $x_2 = 3/2$.

в)
Решим уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$x^3 \cdot x = 1$
$x^4 = 1$
$x^4 - 1 = 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$.
Еще раз применим формулу разности квадратов к первому множителю:
$(x-1)(x+1)(x^2+1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x-1 = 0 \implies x=1$.
2) $x+1 = 0 \implies x=-1$.
3) $x^2+1 = 0 \implies x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Оба найденных корня $x=1$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm 1$.

г)
Решим уравнение $|x-1| = 3 - |x|$.
Перенесем $|x|$ в левую часть:
$|x-1| + |x| = 3$.
Как и в задании б), применим метод интервалов с контрольными точками $x=0$ и $x=1$.

1) При $x \le 0$:
$|x| = -x$ и $|x-1| = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + (-x) = 3$
$1 - 2x = 3$
$-2x = 2$
$x = -1$.
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

2) При $0 < x \le 1$:
$|x| = x$ и $|x-1| = 1-x$.
Уравнение принимает вид:
$(1-x) + x = 3$
$1 = 3$.
Неверное равенство, решений в этом интервале нет.

3) При $x > 1$:
$|x| = x$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x-1) + x = 3$
$2x - 1 = 3$
$2x = 4$
$x = 2$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.