Номер 89, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 89, страница 290.

Условие.

Решите графически уравнения (неравенства) (89, 90).

89.

a) $4 - 3x \le x + 2$;

б) $x^2 - 2x = -x$;

в) $\frac{1}{x} = 4x$;

г) $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для графического решения неравенства $4 - 3x \le x + 2$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 4 - 3x$ и $y_2 = x + 2$.

График функции $y_1 = 4 - 3x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например:
при $x=0$, $y_1 = 4 - 3(0) = 4$. Точка $(0; 4)$.
при $x=2$, $y_1 = 4 - 3(2) = -2$. Точка $(2; -2)$.

График функции $y_2 = x + 2$ — это также прямая. Для ее построения также найдем две точки:
при $x=0$, $y_2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
при $x=2$, $y_2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(2; 4)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y_1$ лежит не выше (то есть ниже или на том же уровне, что и) графика функции $y_2$.

Для определения этой области найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение $y_1 = y_2$:

$4 - 3x = x + 2$

$4 - 2 = x + 3x$

$2 = 4x$

$x = 0.5$

Графики пересекаются в точке с абсциссой $x=0.5$. Прямая $y_1 = 4 - 3x$ является убывающей, а прямая $y_2 = x + 2$ — возрастающей. Следовательно, график $y_1$ находится не выше графика $y_2$ при всех значениях $x$, которые больше или равны абсциссе точки пересечения.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

б)

Для графического решения уравнения $x^2 - 2x = -x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = -x$.

График функции $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину и нули:

Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1; -1)$.

Нули функции: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

График функции $y_2 = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1; -1)$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; -1)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $1$.

Ответ: $0; 1$.

в)

Для графического решения уравнения $\frac{1}{x} = 4x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{1}{x}$ и $y_2 = 4x$.

График функции $y_1 = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(1; 1)$, $(0.5; 2)$, $(-1; -1)$, $(-0.5; -2)$.

График функции $y_2 = 4x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Она проходит, например, через точки $(1; 4)$ и $(-1; -4)$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков. Из чертежа видно, что есть две точки пересечения, симметричные относительно начала координат. Найдем их абсциссы, решив уравнение:

$\frac{1}{x} = 4x$ (при $x \ne 0$)

$1 = 4x^2$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_1 = 0.5$, $x_2 = -0.5$

Ответ: $-0.5; 0.5$.

г)

Для графического решения неравенства $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 + 2x + 2$ и $y_2 = x + 1$.

График функции $y_1 = x^2 + 2x + 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $y_1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Вершина параболы находится в точке $(-1; 1)$.

График функции $y_2 = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы $y_1$ расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика прямой $y_2$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 + 2x + 2 = x + 1$:

$x^2 + x + 1 = 0$

Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются.
Вершина параболы $(-1; 1)$ лежит выше прямой $y_2 = x + 1$ (в точке $x=-1$ значение прямой $y_2(-1) = -1+1=0$). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает прямую, вся парабола расположена выше прямой.

Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 2 \ge x + 1$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.