Номер 94, страница 290 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 94, страница 290.

Условие.

94. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций:

a) $y = \frac{x+1}{|x|}$;

б) $y = x^3 - x|x| + 3$;

в) $y = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$;

г) $y = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Любую функцию $f(x)$, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной функции $y_e(x)$ и нечетной функции $y_o(x)$. Эти функции находятся по формулам:

Четная часть: $y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Нечетная часть: $y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Применим эти формулы для каждой из заданных функций.

а) Дана функция $y = \frac{x+1}{|x|}$.

Обозначим ее как $f(x) = \frac{x+1}{|x|}$. Область определения $D(f): x \neq 0$, является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)+1}{|-x|} = \frac{1-x}{|x|}$.

Теперь найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{|x|} + \frac{1-x}{|x|} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1+1-x}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{|x|} = \frac{1}{|x|}$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{|x|} - \frac{1-x}{|x|} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1-(1-x)}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1-1+x}{|x|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{|x|} = \frac{x}{|x|}$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = \frac{1}{|x|} + \frac{x}{|x|} = \frac{1+x}{|x|} = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = \frac{1}{|x|}$, нечетная функция: $y_o(x) = \frac{x}{|x|}$.

б) Дана функция $y = x^3 - x|x| + 3$.

Обозначим ее как $f(x) = x^3 - x|x| + 3$. Область определения $D(f): (-\infty; +\infty)$, является симметричной.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = (-x)^3 - (-x)|-x| + 3 = -x^3 + x|x| + 3$.

Найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{(x^3 - x|x| + 3) + (-x^3 + x|x| + 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{(x^3 - x|x| + 3) - (-x^3 + x|x| + 3)}{2} = \frac{x^3 - x|x| + 3 + x^3 - x|x| - 3}{2} = \frac{2x^3 - 2x|x|}{2} = x^3 - x|x|$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = 3 + (x^3 - x|x|) = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = 3$, нечетная функция: $y_o(x) = x^3 - x|x|$.

в) Дана функция $y = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$.

Обозначим ее как $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1}$. Область определения $D(f): x \neq \pm 1$, является симметричной.

Найдем значение функции для $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)^2 - (-x)}{(-x)^4 - 1} = \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1}$.

Найдем четную составляющую $y_e(x)$:$y_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} + \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3 + x^2 - x - x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^2}{x^4 - 1} = \frac{x^2}{x^4 - 1}$.

И нечетную составляющую $y_o(x)$:$y_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} - \frac{-x^3 + x^2 + x}{x^4 - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3 + x^2 - x + x^3 - x^2 - x}{x^4 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x^3 - 2x}{x^4 - 1} = \frac{x^3 - x}{x^4 - 1}$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = \frac{x^2}{x^4 - 1} + \frac{x^3 - x}{x^4 - 1} = \frac{x^3 + x^2 - x}{x^4 - 1} = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = \frac{x^2}{x^4 - 1}$, нечетная функция: $y_o(x) = \frac{x^3 - x}{x^4 - 1}$.

г) Дана функция $y = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$.

Обозначим ее как $f(x) = 2x^5 + x^4 - 3x + 8$. Область определения $D(f): (-\infty; +\infty)$, является симметричной.

В случае многочлена можно просто сгруппировать слагаемые с четными и нечетными степенями $x$.

Четная часть состоит из слагаемых с четными степенями ($x^4$ и $x^0$, т.к. $8 = 8x^0$):$y_e(x) = x^4 + 8$.

Нечетная часть состоит из слагаемых с нечетными степенями ($x^5$ и $x^1$):$y_o(x) = 2x^5 - 3x$.

Проверка: $y_e(x) + y_o(x) = (x^4 + 8) + (2x^5 - 3x) = 2x^5 + x^4 - 3x + 8 = f(x)$.

Ответ: Четная функция: $y_e(x) = x^4 + 8$, нечетная функция: $y_o(x) = 2x^5 - 3x$.