Номер 97, страница 291 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 97, страница 291.
№97 (с. 291)
Условие. №97 (с. 291)
скриншот условия

97. a) $y = \sqrt{\sin x \cos x}$;
б) $y = \sqrt{x \operatorname{tg} x}$;
в) $y = \sqrt{\sin^2 x - \cos^2 x}$;
г) $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\cos x}}$.
Решение 1. №97 (с. 291)

Решение 3. №97 (с. 291)

Решение 5. №97 (с. 291)
а) $y = \sqrt{\sin x \cos x}$
Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\sin x \cos x \ge 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{1}{2}\sin(2x) \ge 0$
$\sin(2x) \ge 0$
Функция синус неотрицательна, когда ее аргумент находится в первой или второй четверти, то есть:
$2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим все части неравенства на 2:
$\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
б) $y = \sqrt{x \operatorname{tg} x}$
Область определения функции задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и тангенс должен быть определен.
1. $x \operatorname{tg} x \ge 0$
2. $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим неравенство $x \operatorname{tg} x \ge 0$. Оно выполняется в двух случаях:
Случай 1: $x \ge 0$ и $\operatorname{tg} x \ge 0$.
$\operatorname{tg} x \ge 0$ при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$.
Учитывая, что $x \ge 0$, выбираем неотрицательные значения $n$ ($n=0, 1, 2, \dots$).
Получаем объединение промежутков: $\bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.
Случай 2: $x \le 0$ и $\operatorname{tg} x \le 0$.
$\operatorname{tg} x \le 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)]$ для $n \in \mathbb{Z}$.
Учитывая, что $x \le 0$, выбираем значения $n$, при которых промежутки лежат в области неположительных чисел. Это происходит при $n \le -1$ ($n=-1, -2, \dots$).
Получаем объединение промежутков: $\bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)]$.
Объединяя оба случая, получаем область определения:
$\bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)] \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.
Ответ: $x \in \bigcup_{n=-1}^{-\infty} (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1)] \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.
в) $y = \sqrt{\sin^2 x - \cos^2 x}$
Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\sin^2 x - \cos^2 x \ge 0$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Тогда $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.
Неравенство принимает вид:
$-\cos(2x) \ge 0$
$\cos(2x) \le 0$
Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится во второй или третьей четверти, то есть:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим все части неравенства на 2:
$\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
г) $y = \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}$
Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$
Рассмотрим на единичной окружности:
1. $\sin x \ge 0$ для углов в I и II четвертях. С учетом периодичности, это соответствует промежуткам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x \ge 0$ для углов в I и IV четвертях. С учетом периодичности, это соответствует промежуткам $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам необходимо найти пересечение этих множеств. Оба неравенства выполняются одновременно только для углов в I четверти (включая ее границы).
Найдем пересечение интервалов при $k=0$: $[0, \pi] \cap [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Пересечением является отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.
Так как обе функции $\sin x$ и $\cos x$ имеют период $2\pi$, то и решение системы будет повторяться с периодом $2\pi$.
Таким образом, область определения функции задается множеством:
$[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 97 расположенного на странице 291 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №97 (с. 291), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.