Номер 102, страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 102, страница 292.

Условие.

102. Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций:

a) $y = 1 - \sin 5x;$

б) $y = x \sin^2 x - x \cos^2 x;$

в) $y = 3 \operatorname{tg} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $y = (\sin x + \cos x)^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = 1 - \sin 5x$

Функция $y = \sin x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$, где $f(x)$ - периодическая функция с периодом $T_0$, наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае мы имеем функцию $y = 1 - \sin 5x$. Здесь базовая функция - это синус, $T_0 = 2\pi$. Коэффициент при $x$ равен $k=5$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{5}$.

б) $y = x \sin^2 x - x \cos^2 x$

Упростим выражение, вынеся $x$ за скобки:

$y = x (\sin^2 x - \cos^2 x)$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -x \cos(2x)$

Эта функция является произведением непериодической функции $f_1(x) = -x$ и периодической функции $f_2(x) = \cos(2x)$ (её период равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$).

Чтобы функция была периодической с периодом $T \neq 0$, должно выполняться тождество $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Проверим это условие:

$-(x+T)\cos(2(x+T)) = -x\cos(2x)$

Поскольку $\cos(2x)$ имеет период $\pi$, то если бы наша функция была периодической, её период $T$ должен быть кратен $\pi$, то есть $T = n\pi$ для некоторого целого $n \neq 0$. При таком $T$ имеем $\cos(2(x+T)) = \cos(2x+2n\pi) = \cos(2x)$.

Подставим это в наше равенство:

$(x+n\pi)\cos(2x) = x\cos(2x)$

$(x+n\pi - x)\cos(2x) = 0$

$n\pi \cos(2x) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$. Однако, $\cos(2x)$ не всегда равен нулю (например, при $x=0$, $\cos(0) = 1$). Следовательно, это равенство выполняется только если $n\pi = 0$, что означает $T=0$. Но период должен быть отличен от нуля. Значит, функция не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в) $y = 3 \tg \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$ период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае базовая функция - это тангенс, $T_0 = \pi$. Аргумент тангенса $\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}$. Коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{2}$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = 2\pi$.

г) $y = (\sin x + \cos x)^2$

Упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

Функция принимает вид:

$y = 1 + \sin(2x)$

Это периодическая функция. Её период определяется периодом функции $\sin(2x)$. Наименьший положительный период функции $\sin u$ равен $2\pi$. Для функции $\sin(2x)$ коэффициент при $x$ равен $k=2$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \pi$.