Страница 292 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

99. a) $y = \frac{1}{1 + \sin 2x}$;

б) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$;

в) $y = \frac{3}{\cos x - 1}$;

г) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$.

а) $y = \frac{1}{1 + \sin 2x}$

Чтобы найти область значений функции, проанализируем её знаменатель. Область значений синуса: $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Теперь найдем, какие значения может принимать знаменатель $1 + \sin 2x$:
Наименьшее значение знаменателя: $1 + (-1) = 0$.
Наибольшее значение знаменателя: $1 + 1 = 2$.
Таким образом, $0 \le 1 + \sin 2x \le 2$.

Функция $y$ определена, когда её знаменатель не равен нулю, то есть $1 + \sin 2x \ne 0$, что означает $\sin 2x \ne -1$. Следовательно, знаменатель может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2]$.

Рассмотрим поведение функции $y = \frac{1}{t}$, где $t = 1 + \sin 2x$ и $t \in (0, 2]$. Когда знаменатель $t$ принимает свое наибольшее значение $t=2$, функция $y$ принимает наименьшее значение: $y = \frac{1}{2}$. Когда знаменатель $t$ стремится к нулю ($t \to 0+$), значение функции $y$ стремится к бесконечности ($y \to +\infty$). Таким образом, область значений функции (обозначается $E(y)$) — это все числа от $\frac{1}{2}$ включительно и больше.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 - \cos 4x}$

Для упрощения выражения под корнем воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$. В нашем случае $2\alpha = 4x$, следовательно, $\alpha = 2x$. Подставим в формулу: $1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x)$.

Теперь функция имеет вид: $y = \sqrt{2\sin^2(2x)}$. Извлекая корень, получаем: $y = \sqrt{2}\sqrt{\sin^2(2x)} = \sqrt{2}|\sin 2x|$.

Найдём область значений полученного выражения. Область значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Модуль этой величины, $|\sin 2x|$, принимает значения в отрезке $[0, 1]$. Умножая на $\sqrt{2}$, получаем область значений для $y$:

$0 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}|\sin 2x| \le 1 \cdot \sqrt{2}$
$0 \le y \le \sqrt{2}$

Ответ: $E(y) = [0, \sqrt{2}]$.

в) $y = \frac{3}{\cos x - 1}$

Найдём область значений знаменателя. Область значений косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, для знаменателя $\cos x - 1$ имеем:
Наименьшее значение: $-1 - 1 = -2$.
Наибольшее значение: $1 - 1 = 0$.
Таким образом, $-2 \le \cos x - 1 \le 0$.

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: $\cos x - 1 \ne 0$, то есть $\cos x \ne 1$. Значит, знаменатель принимает значения из полуинтервала $[-2, 0)$.

Пусть $t = \cos x - 1$, где $t \in [-2, 0)$. Тогда $y = \frac{3}{t}$. Когда знаменатель $t$ принимает свое наименьшее значение $t=-2$, функция $y$ принимает наибольшее значение: $y = \frac{3}{-2} = -1.5$. Когда знаменатель $t$ стремится к нулю с отрицательной стороны ($t \to 0-$), значение дроби стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$). Следовательно, область значений функции простирается от $-\infty$ до $-1.5$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1.5]$.

г) $y = \tan x + \cot x$

Преобразуем данное выражение. Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус. $y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

Приведем дроби к общему знаменателю: $y = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Подставим это в наше выражение: $y = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$

Теперь найдем область значений этой функции. Область значений $\sin(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Однако, исходная функция $y = \tan x + \cot x$ не определена, когда $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$. Это означает, что их произведение $\sin x \cos x$ не должно быть равно нулю, а значит и $\sin(2x) \ne 0$. Таким образом, знаменатель $\sin(2x)$ может принимать любые значения из множества $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin(2x)$ принимает значения из интервала $(0, 1]$, то $y = \frac{2}{\sin(2x)}$ принимает значения от $\frac{2}{1} = 2$ до $+\infty$. То есть, $y \in [2, +\infty)$.
2. Если $\sin(2x)$ принимает значения из интервала $[-1, 0)$, то $y = \frac{2}{\sin(2x)}$ принимает значения от $-\infty$ до $\frac{2}{-1} = -2$. То есть, $y \in (-\infty, -2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем итоговую область значений.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

100. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = 3 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = 1 - \operatorname{tg} 3x$;

в) $y = 1 - \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$;

г) $y = 1 + 2 \cos 2x$.

а) $y = 3 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, определим, при каких значениях $x$ функция положительна ($y>0$), отрицательна ($y<0$) или равна нулю ($y=0$).

1. Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$:
$3 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 0$
$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 0$
Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём промежутки, где $y>0$:
$3 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) > 0$
$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) > 0$
Косинус положителен, когда его аргумент находится в интервале $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x+\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём промежутки, где $y<0$:
$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) < 0$
Косинус отрицателен, когда его аргумент находится в интервале $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x+\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)$; $y < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 1 - \tg 3x$

1. Область определения функции: тангенс не определён, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$.
$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$:
$1 - \tg 3x = 0$
$\tg 3x = 1$
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём промежутки, где $y>0$:
$1 - \tg 3x > 0 \implies \tg 3x < 1$.
С учётом области определения тангенса, решаем неравенство на одном из периодов: $-\frac{\pi}{2} < 3x < \frac{\pi}{4}$ (для $k=0$).
В общем виде:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < 3x < \frac{\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Найдём промежутки, где $y<0$:
$1 - \tg 3x < 0 \implies \tg 3x > 1$.
С учётом области определения тангенса:
$\frac{\pi}{4} + \pi k < 3x < \frac{\pi}{2} + \pi k$
$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}\right)$; $y < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 1 - \sqrt{2} \sin\frac{x}{2}$

1. Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$:
$1 - \sqrt{2} \sin\frac{x}{2} = 0$
$\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Это даёт две серии корней: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём промежутки, где $y>0$:
$1 - \sqrt{2} \sin\frac{x}{2} > 0 \implies \sin\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Синус меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$, когда его аргумент $\frac{x}{2}$ находится в интервале $\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)$, то есть $\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k\right)$.
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{3\pi}{2} + 4\pi k < x < \frac{9\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём промежутки, где $y<0$:
$1 - \sqrt{2} \sin\frac{x}{2} < 0 \implies \sin\frac{x}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Синус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$, когда его аргумент $\frac{x}{2}$ находится в интервале $\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right)$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{2} + 4\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in \left(\frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \frac{9\pi}{2} + 4\pi k\right)$; $y < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 4\pi k, \frac{3\pi}{2} + 4\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = 1 + 2 \cos 2x$

1. Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$:
$1 + 2 \cos 2x = 0$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём промежутки, где $y>0$:
$1 + 2 \cos 2x > 0 \implies \cos 2x > -\frac{1}{2}$.
Косинус больше $-\frac{1}{2}$, когда его аргумент $2x$ находится в интервале $\left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right)$.
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём промежутки, где $y<0$:
$1 + 2 \cos 2x < 0 \implies \cos 2x < -\frac{1}{2}$.
Косинус меньше $-\frac{1}{2}$, когда его аргумент $2x$ находится в интервале $\left(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right)$.
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k\right)$; $y < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

101. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными:

a) $y = \text{tg } 3x - \text{ctg } \frac{x}{2};$

б) $y = \frac{\sin x \cos^2 x}{x};$

в) $y = \sin \frac{x^3 - x}{x^2 - 1};$

г) $y = \frac{\sin x}{x} - \cos x?$

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).
2. Должно выполняться одно из равенств для всех $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

а) $y = \tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})$

Пусть $f(x) = \tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})$.

1. Найдем область определения $D(f)$. Функция $\tan(3x)$ определена при $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция $\cot(\frac{x}{2})$ определена при $\frac{x}{2} \neq \pi n$, то есть $x \neq 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область определения является симметричной относительно нуля, так как если $x$ не равен этим значениям, то и $-x$ им не равен.

2. Найдем $f(-x)$. Используем свойства нечетности функций тангенса и котангенса: $\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$ и $\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$.

$f(-x) = \tan(3(-x)) - \cot(\frac{-x}{2}) = \tan(-3x) - \cot(-\frac{x}{2}) = -\tan(3x) - (-\cot(\frac{x}{2})) = -\tan(3x) + \cot(\frac{x}{2})$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$:

$-f(x) = -(\tan(3x) - \cot(\frac{x}{2})) = -\tan(3x) + \cot(\frac{x}{2})$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$.

1. Область определения $D(f)$: $x \neq 0$. Эта область $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ и свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$.

$f(-x) = \frac{\sin(-x) \cos^2(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x) (\cos(x))^2}{-x} = \frac{-\sin(x) \cos^2(x)}{-x} = \frac{\sin(x) \cos^2(x)}{x}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \sin(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1})$

Пусть $f(x) = \sin(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1})$.

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби под знаком синуса не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители:

$\frac{x^3 - x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$.

При $x \neq \pm 1$ можно сократить дробь: $\frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = x$.

Таким образом, на всей области определения функция совпадает с функцией $y = \sin(x)$. То есть $f(x) = \sin(x)$ при $x \neq \pm 1$.

3. Проверим функцию на четность, учитывая ее область определения.

$f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $y = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$

Пусть $f(x) = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$.

1. Область определения $D(f)$: из-за наличия дроби $\frac{\sin(x)}{x}$ имеем $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} - \cos(-x)$.

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin(x)$ и $\cos(-x) = \cos(x)$.

$f(-x) = \frac{-\sin(x)}{-x} - \cos(x) = \frac{\sin(x)}{x} - \cos(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это также следует из того, что функция представляет собой разность двух четных функций: $g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ (является четной, так как это частное двух нечетных функций) и $h(x)=\cos(x)$ (четная функция).

Ответ: четная.

102. Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций:

a) $y = 1 - \sin 5x;$

б) $y = x \sin^2 x - x \cos^2 x;$

в) $y = 3 \operatorname{tg} \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $y = (\sin x + \cos x)^2.$

а) $y = 1 - \sin 5x$

Функция $y = \sin x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$, где $f(x)$ - периодическая функция с периодом $T_0$, наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае мы имеем функцию $y = 1 - \sin 5x$. Здесь базовая функция - это синус, $T_0 = 2\pi$. Коэффициент при $x$ равен $k=5$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{5}$.

б) $y = x \sin^2 x - x \cos^2 x$

Упростим выражение, вынеся $x$ за скобки:

$y = x (\sin^2 x - \cos^2 x)$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -x \cos(2x)$

Эта функция является произведением непериодической функции $f_1(x) = -x$ и периодической функции $f_2(x) = \cos(2x)$ (её период равен $\frac{2\pi}{2} = \pi$).

Чтобы функция была периодической с периодом $T \neq 0$, должно выполняться тождество $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Проверим это условие:

$-(x+T)\cos(2(x+T)) = -x\cos(2x)$

Поскольку $\cos(2x)$ имеет период $\pi$, то если бы наша функция была периодической, её период $T$ должен быть кратен $\pi$, то есть $T = n\pi$ для некоторого целого $n \neq 0$. При таком $T$ имеем $\cos(2(x+T)) = \cos(2x+2n\pi) = \cos(2x)$.

Подставим это в наше равенство:

$(x+n\pi)\cos(2x) = x\cos(2x)$

$(x+n\pi - x)\cos(2x) = 0$

$n\pi \cos(2x) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$. Однако, $\cos(2x)$ не всегда равен нулю (например, при $x=0$, $\cos(0) = 1$). Следовательно, это равенство выполняется только если $n\pi = 0$, что означает $T=0$. Но период должен быть отличен от нуля. Значит, функция не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в) $y = 3 \tg \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \cdot f(kx+b) + C$ период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В данном случае базовая функция - это тангенс, $T_0 = \pi$. Аргумент тангенса $\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}$. Коэффициент при $x$ равен $k=\frac{1}{2}$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = 2\pi$.

г) $y = (\sin x + \cos x)^2$

Упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

Функция принимает вид:

$y = 1 + \sin(2x)$

Это периодическая функция. Её период определяется периодом функции $\sin(2x)$. Наименьший положительный период функции $\sin u$ равен $2\pi$. Для функции $\sin(2x)$ коэффициент при $x$ равен $k=2$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Функция является периодической.

Ответ: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \pi$.

103. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума, точки минимума функции:

а) $y = 1 + \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = \frac{2}{1-\cos x};$

в) $y = 0,5 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right);$

г) $y = \sqrt{1-\sin^2 x}.$

а) $y = 1 + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

1. Область определения функции:
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
Найдем производную функции $y$ по $x$:
$y' = \left(1 + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = 0 + \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{6}\right)' = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

3. Нахождение критических точек:
Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует всюду. Найдем точки, где $y' = 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{3\pi + \pi}{6} + \pi k = \frac{4\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Исследуем знак производной $y' = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ на интервалах, образованных критическими точками.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Промежутки возрастания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точки максимума.
В точках $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1)$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{2}{1 - \cos x}$

1. Область определения функции:
Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1 \implies x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \mathbb{R} \setminus \{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Нахождение производной:
Используем правило дифференцирования частного или степенной функции $y = 2(1 - \cos x)^{-1}$:
$y' = 2 \cdot (-1)(1 - \cos x)^{-2} \cdot (1 - \cos x)' = -2(1 - \cos x)^{-2} \cdot (\sin x) = -\frac{2\sin x}{(1 - \cos x)^2}$.

3. Нахождение критических точек:
Производная существует во всей области определения функции. Найдем точки, где $y' = 0$:
$-\frac{2\sin x}{(1 - \cos x)^2} = 0$
$-2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Учитывая область определения, исключаем точки $x = 2\pi k$. Таким образом, критическими являются точки $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Знак производной $y'$ зависит от знака числителя $-2\sin x$, так как знаменатель $(1 - \cos x)^2$ всегда положителен в области определения.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$-2\sin x > 0 \implies \sin x < 0$.
Это выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$-2\sin x < 0 \implies \sin x > 0$.
Это выполняется на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \pi + 2\pi k$ знак производной меняется с «−» на «+». Следовательно, это точки минимума.
Точек максимума у функции нет.

Ответ:
Промежутки возрастания: $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: нет.
Точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 0,5 \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)$

1. Преобразование и область определения:
Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, можно записать: $y = 0,5 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
$y' = 0,5 \cdot \left(-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)' = -0,5 \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 2 = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

3. Нахождение критических точек:
$y' = 0 \implies -\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$2x - \frac{\pi}{3} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Знак производной $y'$ противоположен знаку $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < 0$.
$\pi + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \frac{7\pi}{6} + \pi n$.
Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{7\pi}{6} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
$-\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > 0$.
$2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ знак производной меняется с «−» на «+» (с учетом периода $\pi n$). Но посмотрим на концы интервалов: убывание сменяется возрастанием в точках $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$ — это точки минимума. Возрастание сменяется убыванием в точках $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi(n+1)$ — это точки максимума. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[\frac{2\pi}{3} + \pi k, \frac{7\pi}{6} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \sqrt{1 - \sin^2 x}$

1. Преобразование и область определения:
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.
Тогда $y = \sqrt{\cos^2 x}$. Важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $y = |\cos x|$.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной:
Функция $y = |\cos x|$ не дифференцируема в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти точки являются критическими.
В остальных точках производную можно найти по правилу дифференцирования сложной функции: $y' = (|u|)' \cdot u'$, где $u = \cos x$.
$y' = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot \operatorname{sgn}(\cos x)$, где $\operatorname{sgn}$ — функция знака.

3. Нахождение критических точек:
Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.
Производная не существует при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Производная равна нулю, когда $\sin x = 0$ (и $\cos x \neq 0$), то есть при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Итак, все критические точки: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Определение промежутков монотонности:
Исследуем знак производной $y' = -\sin x \cdot \operatorname{sgn}(\cos x)$ на интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$:
- На интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$: $\sin x > 0, \cos x < 0$. $y' = - (+) \cdot (-) = +$.
- На интервале $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$: $\sin x < 0, \cos x > 0$. $y' = - (-) \cdot (+) = +$.
Объединяя, получаем промежутки возрастания: $\left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$:
- На интервале $(2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$: $\sin x > 0, \cos x > 0$. $y' = - (+) \cdot (+) = -$.
- На интервале $(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$: $\sin x < 0, \cos x < 0$. $y' = - (-) \cdot (-) = -$.
Объединяя, получаем промежутки убывания: $\left[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

5. Нахождение точек экстремума:
В точках $x = \pi k$ производная меняет знак с «+» на «−» (если смотреть на окрестность точки), либо равна 0, а функция достигает своего максимального значения $y=1$. Это точки максимума.
В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ производная меняет знак с «−» на «+», в этих точках функция имеет излом (острый минимум) и достигает минимального значения $y=0$. Это точки минимума.

Ответ:
Промежутки возрастания: $\left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $\left[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

104. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

a) $y = \cos 2x + \sin^2 x;$

б) $y = 1 - 4 \sin 3x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = 1 + |\text{tg } x|.$

а) $y = \cos 2x + \sin^2 x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$y = (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x$

Теперь применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Таким образом, функция принимает вид $y = \cos^2 x$.

Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. При возведении в квадрат любого значения из этого отрезка, результат будет находиться в отрезке $[0, 1]$.

Наименьшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 0 (когда $\cos x = 0$).

Наибольшее значение функции $y = \cos^2 x$ равно 1 (когда $\cos x = \pm 1$).

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 1.

б) $y = 1 - 4 \sin 3x$

Область значений функции синус, независимо от ее аргумента, всегда находится в пределах отрезка $[-1, 1]$.

Следовательно, для $\sin 3x$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \sin 3x \le 1$.

Умножим все части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-4) \ge -4 \sin 3x \ge 1 \cdot (-4)$

$4 \ge -4 \sin 3x \ge -4$

Это же неравенство можно записать в более привычном виде: $-4 \le -4 \sin 3x \le 4$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:

$1 - 4 \le 1 - 4 \sin 3x \le 1 + 4$

$-3 \le y \le 5$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -3, а наибольшее равно 5.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение функции равно 5.

в) $y = \sin x - \cos x$

Для нахождения области значений выражений вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение:

$y = \sin x - \cos x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$

$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, мы можем записать:

$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

Область значений функции $\sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$.

г) $y = 1 + |\tg x|$

Рассмотрим функцию $y = 1 + |\tg x|$. Область определения этой функции - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Область значений функции $\tg x$ - это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Модуль тангенса, $|\tg x|$, принимает только неотрицательные значения. Значит, область значений функции $|\tg x|$ - это промежуток $[0, +\infty)$.

Это можно записать в виде неравенства: $|\tg x| \ge 0$.

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим:

$1 + |\tg x| \ge 1$, то есть $y \ge 1$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 1. Это значение достигается, когда $|\tg x| = 0$, то есть при $x = k\pi$, где $k$ - любое целое число.

Поскольку значение $|\tg x|$ может быть сколь угодно большим (например, когда $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$), функция $y$ не ограничена сверху. Наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.

Постройте графики функций (105, 106).

105.

а) $y = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2 x}$;

в) $y = 1 + 2 \cos 2x$;

г) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$.

а) $y = 2 \sin^2{\frac{x}{2}}$

Для построения графика этой функции, мы сначала упростим ее выражение, используя формулу понижения степени для синуса: $2 \sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha}$.
В нашем случае, пусть $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 1 - \cos{x}$.

Построение графика функции $y = 1 - \cos{x}$ можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике $y = \cos{x}$:
1. Строим график основной функции $y = \cos{x}$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и проходящая через точку $(0, 1)$.
2. Строим график $y = -\cos{x}$. Это результат зеркального отражения графика $y = \cos{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Теперь график проходит через точку $(0, -1)$.
3. Строим график $y = 1 - \cos{x}$ (что то же самое, что $y = -\cos{x} + 1$). Это результат сдвига графика $y = -\cos{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Основные характеристики графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Область значений: $[0, 2]$.
- Максимальное значение $y=2$ достигается при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Минимальное значение $y=0$ достигается при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin^2{\frac{x}{2}}$ является графиком функции $y = \cos{x}$, отраженным относительно оси Ox и смещенным на 1 единицу вверх.

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$

Упростим данное выражение, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2{x} = \sin^2{x}$.
Подставив это в исходное уравнение, получаем: $y = \sqrt{\sin^2{x}}$.

Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, функция принимает вид: $y = |\sin{x}|$.

Для построения графика функции $y = |\sin{x}|$:
1. Сначала строим график функции $y = \sin{x}$. Это стандартная синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Затем применяем операцию взятия модуля. Все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения $y$ отрицательны), симметрично отражаются вверх относительно этой оси. Части графика, которые уже находятся выше или на оси абсцисс, остаются без изменений.

Основные характеристики графика:
- Функция неотрицательна, $y \ge 0$.
- Период: $T = \pi$ (в отличие от $y = \sin{x}$, у которого период $2\pi$, здесь отрицательная полуволна становится положительной, и узор повторяется в два раза чаще).
- Область значений: $[0, 1]$.
- Нули функции ($y=0$) находятся в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$ — это график функции $y=|\sin{x}|$, который получается из графика $y = \sin{x}$ путем симметричного отражения всех его отрицательных участков относительно оси Ox.

в) $y = 1 + 2 \cos{2x}$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \cos{x}$. Порядок преобразований:
1. Строим график $y = \cos{x}$.
2. Строим график $y = \cos{2x}$. Происходит сжатие графика $y = \cos{x}$ в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Строим график $y = 2\cos{2x}$. Происходит растяжение графика $y = \cos{2x}$ в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда увеличивается до 2, а область значений становится $[-2, 2]$.
4. Строим график $y = 1 + 2\cos{2x}$. Происходит сдвиг графика $y = 2\cos{2x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Основные характеристики итогового графика:
- Период: $T = \pi$.
- Амплитуда: 2.
- Вертикальный сдвиг: +1 (новая ось симметрии - прямая $y=1$).
- Область значений: $[-1, 3]$.
- Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$: максимум в $(0, 3)$, пересечение с осью симметрии в $(\frac{\pi}{4}, 1)$, минимум в $(\frac{\pi}{2}, -1)$, пересечение с осью симметрии в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, максимум в $(\pi, 3)$.

Ответ: График функции $y = 1 + 2 \cos{2x}$ получается из графика $y = \cos{x}$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига на 1 единицу вверх.

г) $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \sin{x}$.
1. Строим график основной функции $y = \sin{x}$.
2. Строим график $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})}$. Это сдвиг (фазовый сдвиг) графика $y = \sin{x}$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox.
3. Строим график $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$. Это сдвиг графика $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Основные характеристики итогового графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Амплитуда: 1.
- Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): на $\frac{\pi}{3}$ вправо.
- Вертикальный сдвиг: на 2 вниз (новая ось симметрии - прямая $y=-2$).
- Область значений: $[-3, -1]$.
- Ключевые точки (с учетом сдвигов):
- Начало "волны" (пересечение с осью $y=-2$, где функция возрастает): $(\frac{\pi}{3}, -2)$.
- Максимум: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1-2) = (\frac{5\pi}{6}, -1)$.
- Минимум: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, -1-2) = (\frac{11\pi}{6}, -3)$.

Ответ: График функции $y = \sin{(x - \frac{\pi}{3})} - 2$ получается из графика $y = \sin{x}$ путем сдвига на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо и на 2 единицы вниз.

106. а) $y = \frac{|x| \sin x}{x};$

В) $y = \cos x + |\cos x|;$

б) $y = (\sin x - \cos x)^2;$

Г) $y = \sin x \operatorname{ctg} x.$

а) $y = \frac{|x| \sin x}{x}$

Область определения данной функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|x|$.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \frac{x \sin x}{x} = \sin x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \frac{-x \sin x}{x} = -\sin x$

Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x > 0 \\ -\sin x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x > 0 \\ -\sin x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = (\sin x - \cos x)^2$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$y = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$y = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin(2x)$

Ответ: $y = 1 - \sin(2x)$

в) $y = \cos x + |\cos x|$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$, так как функция $\cos x$ определена для всех действительных чисел. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае функция принимает вид:

$y = \cos x + \cos x = 2 \cos x$

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае функция принимает вид:

$y = \cos x - \cos x = 0$

Таким образом, функцию можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{при } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{при } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

г) $y = \sin x \operatorname{ctg} x$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ учтем, что функция $\operatorname{ctg} x$ не определена, когда $\sin x = 0$.

$\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Теперь упростим выражение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Так как в области определения $\sin x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $\sin x$:

$y = \cos x$

Итак, данная функция является функцией $y = \cos x$ с областью определения $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = \cos x$ при $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

107. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = \frac{1}{2} + \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$;

б) $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)$;

в) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$;

г) $y = 1 - \operatorname{tg} 2x$.

а) Исследуем функцию $y = \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y=\sin(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y=\sin(x)$ вправо вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх вдоль оси ординат на $\frac{1}{2}$. Получаем график искомой функции $y = \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.

Проведем исследование функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \le 1$. Тогда $\frac{1}{2} - 1 \le \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \le \frac{1}{2} + 1$, что дает $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. Таким образом, $E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Так как период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$, то и период данной функции $T = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат.
5. Нули функции (точки пересечения с осью OX):
$y=0 \Rightarrow \frac{1}{2} + \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 0 \Rightarrow \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
$x-\frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=0$ имеем $x=0$, при $k=1$ имеем $x=\frac{4\pi}{3}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \frac{1}{2} + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
7. Точки экстремума:
Максимумы достигаются, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$. Тогда $y_{max} = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$. Это происходит при $x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Минимумы достигаются, когда $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1$. Тогда $y_{min} = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$. Это происходит при $x-\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на одном периоде, например на отрезке $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\right]$, отметим ключевые точки: $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (начало "волны"), $(\frac{2\pi}{3}, \frac{3}{2})$ (максимум), $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (середина "волны"), $(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{2})$ (минимум), $(\frac{13\pi}{6}, \frac{1}{2})$ (конец "волны").

Ответ: График функции — синусоида, полученная сдвигом графика $y=\sin x$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо и на $\frac{1}{2}$ вверх. Период $T=2\pi$, область значений $E(y)=\left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.

б) Исследуем функцию $y = \frac{1}{2} \tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

График этой функции можно получить из графика $y=\tg(x)$ преобразованиями:
1. Растяжение вдоль оси OX в 2 раза ($y=\tg(\frac{x}{2})$). Период становится $T=\pi / (1/2) = 2\pi$.
2. Сдвиг вправо на $\frac{2\pi}{3}$ ($y=\tg(\frac{1}{2}(x - \frac{2\pi}{3})) = \tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3})$).
3. Сжатие вдоль оси OY в 2 раза ($y=\frac{1}{2}\tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3})$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Периодичность: Период базовой функции $\tg(t)$ равен $\pi$. Период функции $\tg(ax+b)$ равен $T=\frac{\pi}{|a|}$. Здесь $a=1/2$, поэтому $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции:
$y=0 \Rightarrow \tg\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \frac{1}{2}\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(0; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
7. Асимптоты: Вертикальные асимптоты проходят через точки, где функция не определена: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Монотонность: Функция возрастает на каждом интервале области определения.

Для построения графика строим асимптоты, например, $x=-\frac{\pi}{3}$ и $x=\frac{5\pi}{3}$. Между ними отмечаем точку пересечения с осью абсцисс $(\frac{2\pi}{3}; 0)$ и с осью ординат $(0; -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Затем строим одну ветвь тангенсоиды и продолжаем ее периодически с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T=2\pi$, сжатая по вертикали в 2 раза, смещенная на $\frac{2\pi}{3}$ вправо. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исследуем функцию $y = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, преобразуем функцию: $y = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
График этой функции можно получить из графика $y=\cos(x)$ преобразованиями:
1. Сжатие вдоль оси OY в 2 раза ($y=\frac{1}{2}\cos(x)$).
2. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$ ($y=\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$).
3. Сдвиг вверх на 1 ($y=1+\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $-1 \le \cos(x-\frac{\pi}{4}) \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{2}$.
$1-\frac{1}{2} \le 1+\frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) \le 1+\frac{1}{2}$, то есть $\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$. $E(y) = \left[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.
3. Периодичность: Период $T = 2\pi$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции: $y=0 \Rightarrow 1 + \frac{1}{2}\cos(x-\frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow \cos(x-\frac{\pi}{4}) = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$. Нулей у функции нет, график не пересекает ось OX.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y=1+\frac{1}{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) = 1+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\frac{\sqrt{2}}{4}$. Точка $(0; 1+\frac{\sqrt{2}}{4})$.
7. Точки экстремума:
Максимумы $y_{max}=\frac{3}{2}$ при $\cos(x-\frac{\pi}{4})=1 \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Минимумы $y_{min}=\frac{1}{2}$ при $\cos(x-\frac{\pi}{4})=-1 \Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi k \Rightarrow x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для построения графика на одном периоде, например на $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]$, отметим ключевые точки: $(\frac{\pi}{4}, \frac{3}{2})$ (максимум), $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ (точка перегиба), $(\frac{5\pi}{4}, \frac{1}{2})$ (минимум), $(\frac{7\pi}{4}, 1)$ (точка перегиба), $(\frac{9\pi}{4}, \frac{3}{2})$ (следующий максимум).

Ответ: График функции — косинусоида, сжатая по вертикали в 2 раза, смещенная на $\frac{\pi}{4}$ вправо и на 1 вверх. Период $T=2\pi$, область значений $E(y)=\left[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$. Функция не имеет нулей.

г) Исследуем функцию $y = 1 - \tg(2x)$.

График этой функции можно получить из графика $y=\tg(x)$ преобразованиями:
1. Сжатие вдоль оси OX в 2 раза ($y=\tg(2x)$). Период становится $T=\pi/2$.
2. Симметричное отражение относительно оси OX ($y=-\tg(2x)$).
3. Сдвиг вверх на 1 ($y=1-\tg(2x)$).

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y): x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Периодичность: Период $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
4. Четность/нечетность: Функция общего вида.
5. Нули функции:
$y=0 \Rightarrow 1-\tg(2x) = 0 \Rightarrow \tg(2x) = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = 1 - \tg(0) = 1$. Точка $(0; 1)$.
7. Асимптоты: Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
8. Монотонность: Так как функция $\tg(t)$ возрастающая, а перед ней стоит знак минус, функция $y = 1 - \tg(2x)$ является убывающей на каждом интервале области определения.

Для построения графика строим асимптоты, например, $x=-\frac{\pi}{4}$ и $x=\frac{\pi}{4}$. Между ними отмечаем точку пересечения с осью ординат $(0; 1)$, которая является точкой перегиба, и точку пересечения с осью абсцисс $(\frac{\pi}{8}; 0)$. Затем строим одну ветвь убывающей функции и продолжаем ее периодически с периодом $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции — тангенсоида с периодом $T=\frac{\pi}{2}$, отраженная относительно оси OX и сдвинутая на 1 вверх. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.