Страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

117. a) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 4;$

б) $y = \log_4 (x + 3);$

в) $y = 2 - 3^x;$

г) $y = \sqrt{x - 4}.$

а) Для функции $y = (\frac{1}{2})^x - 4$.
Область определения ($D(y)$): Показательная функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ определена для всех действительных чисел $x$. Вычитание константы не изменяет область определения. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Поскольку основание показательной функции $a = \frac{1}{2}$ положительно, значение выражения $(\frac{1}{2})^x$ всегда строго больше нуля для любого $x$, то есть $(\frac{1}{2})^x > 0$. Если из этого выражения вычесть 4, получим:
$y = (\frac{1}{2})^x - 4 > 0 - 4$, что равносильно $y > -4$.
Таким образом, область значений функции - это все числа, строго большие -4.
$E(y) = (-4; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-4; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_4(x + 3)$.
Область определения ($D(y)$): Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Следовательно, необходимо выполнить условие:
$x + 3 > 0$
$x > -3$
Таким образом, область определения функции - это все числа, строго большие -3.
$D(y) = (-3; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Областью значений любой логарифмической функции $y = \log_a(x)$ (где $a > 0, a \neq 1$) является множество всех действительных чисел. Горизонтальный сдвиг графика на 3 единицы влево не влияет на область значений.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-3; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = 2 - 3^x$.
Область определения ($D(y)$): Показательная функция $y_1 = 3^x$ определена для всех действительных чисел $x$. Преобразования (умножение на константу и сложение с константой) не изменяют область определения. Следовательно, область определения - это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Значение показательной функции $3^x$ всегда строго положительно: $3^x > 0$.
Умножим это неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-3^x < 0$.
Теперь прибавим 2 к обеим частям неравенства:
$2 - 3^x < 2$, то есть $y < 2$.
Таким образом, область значений функции - это все числа, меньшие 2.
$E(y) = (-\infty; 2)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 2)$.

г) Для функции $y = \sqrt{x - 4}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$
Следовательно, область определения функции - это все числа, большие или равные 4.
$D(y) = [4; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень по определению всегда принимает неотрицательные значения. Таким образом, $y \ge 0$.
Минимальное значение функции достигается при наименьшем возможном значении $x$ из области определения, то есть при $x=4$. При $x=4$, $y = \sqrt{4-4} = 0$. При увеличении $x$, значение $y$ также неограниченно увеличивается.
Таким образом, область значений функции - это все неотрицательные числа.
$E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [4; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

118. а) $y = 4^{x+2} - 4^x$;

б) $y = \lg (x - 2) - 1$;

в) $y = \sqrt{x+3}$;

г) $y = 2 - \sqrt[3]{x}$.

а) Для функции $y = 4^{x+2} - 4^x$.

Область определения (D(y)):
Данная функция представляет собой разность двух показательных функций. Показательная функция $a^t$ определена для любого действительного значения аргумента $t$. Следовательно, оба слагаемых $4^{x+2}$ и $4^x$ определены для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Для нахождения области значений преобразуем выражение:
$y = 4^{x+2} - 4^x = 4^x \cdot 4^2 - 4^x = 16 \cdot 4^x - 1 \cdot 4^x = (16-1) \cdot 4^x = 15 \cdot 4^x$.
Область значений показательной функции $g(x) = 4^x$ — это все положительные числа, то есть $E(g) = (0; +\infty)$, так как $4^x > 0$ при любом $x$.
Поскольку мы умножаем значения функции $4^x$ на положительную константу 15, то область значений итоговой функции также будет состоять только из положительных чисел.
$E(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \lg(x - 2) - 1$.

Область определения (D(y)):
Данная функция является логарифмической. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Область значений функции десятичного логарифма $f(t) = \lg(t)$ (где $t = x-2$) — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Вычитание константы 1 из функции приводит к сдвигу её графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат, но не изменяет множество принимаемых значений.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (2; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt{x + 3}$.

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит квадратный корень. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{t}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{t} \ge 0$.
Поскольку подкоренное выражение $x+3$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$ при $x \in [-3; +\infty)$, то и сама функция $y = \sqrt{x+3}$ будет принимать все значения от $\sqrt{0}$ и больше.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) Для функции $y = 2 - \sqrt[3]{x}$.

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит кубический корень. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для любого действительного числа (как положительного, так и отрицательного, и нуля).
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Область значений функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Умножение на -1 (функция $g(x) = -\sqrt[3]{x}$) и прибавление константы 2 (функция $y = 2 + g(x)$) не изменяют множество принимаемых значений, которое остаётся множеством всех действительных чисел. Эти преобразования лишь отражают и сдвигают график, но он по-прежнему будет простираться от $-\infty$ до $+\infty$ по оси ординат.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдите среди данных функций четные и нечетные (119, 120).

119.

а) $y = 5^x + 5^{-x}$;

б) $y = \lg (1 - x^2)$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$;

г) $y = x \sqrt[3]{x}$.

Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, нужно проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и сравнить значения $f(x)$ и $f(-x)$.

• Функция четная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$.
• Функция нечетная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$.

а) $y = 5^x + 5^{-x}$

Пусть $f(x) = 5^x + 5^{-x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любого действительного аргумента. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5^{-x} + 5^{-(-x)} = 5^{-x} + 5^x$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = 5^x + 5^{-x} = f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = \lg(1 - x^2)$

Пусть $f(x) = \lg(1 - x^2)$.

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.

Область определения $D(f) = (-1; 1)$ симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \lg(1 - (-x)^2) = \lg(1 - x^2)$.

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Пусть $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(-x)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = (2^{-1})^{-2x} = 2^{2x}$.

Исходная функция: $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = (2^{-1})^{2x} = 2^{-2x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

Равенство $f(-x) = f(x)$, то есть $2^{2x} = 2^{-2x}$, выполняется только при $2x = -2x$, что верно лишь для $x=0$. Поскольку равенство не выполняется для всех $x$ из области определения, функция не является четной.

Равенство $f(-x) = -f(x)$, то есть $2^{2x} = -2^{-2x}$, не выполняется никогда, так как показательная функция всегда принимает положительные значения.

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = x\sqrt[3]{x}$

Пусть $f(x) = x\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любого действительного числа. Область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)\sqrt[3]{-x}$.

Используем свойство кубического корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$:

$f(-x) = (-x)(-\sqrt[3]{x}) = x\sqrt[3]{x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

120. а) $y = x^{2/3}$;

б) $y = 3^x - 3^{-x}$;

в) $y = 2^{\cos x}$;

г) $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$.

а)

Для нахождения производной функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

Результат можно также представить в виде корня:

$y' = \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

б)

Дана функция $y = 3^x - 3^{-x}$. Это разность двух функций, поэтому ее производная равна разности производных:

$y' = (3^x - 3^{-x})' = (3^x)' - (3^{-x})'$.

Используем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и правило дифференцирования сложной функции.

Производная первого слагаемого:

$(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Для второго слагаемого $3^{-x}$ применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -x$, тогда производная внутренней функции $u' = -1$.

$(3^{-x})' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-x)' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x} \ln 3$.

Теперь вычисляем производную исходной функции:

$y' = 3^x \ln 3 - (-3^{-x} \ln 3) = 3^x \ln 3 + 3^{-x} \ln 3$.

Вынесем общий множитель $\ln 3$ за скобки:

$y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.

Ответ: $y' = (3^x + 3^{-x})\ln 3$.

в)

Дана сложная функция $y = 2^{\cos x}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 2^u$, а внутренняя функция $g(x) = \cos x$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (2^u)' = 2^u \ln 2$.

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x)$.

Упростим выражение:

$y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.

Ответ: $y' = -2^{\cos x} \sin x \ln 2$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[5]{x^4} + 1$. Сначала преобразуем ее, представив корень в виде степени:

$y = x^{\frac{4}{5}} + 1$.

Производная суммы равна сумме производных:

$y' = (x^{\frac{4}{5}} + 1)' = (x^{\frac{4}{5}})' + (1)'$.

Производная константы (числа 1) равна нулю: $(1)' = 0$.

Для нахождения производной $x^{\frac{4}{5}}$ используем формулу для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = \frac{4}{5}$.

$(x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-\frac{5}{5}} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

Собираем все вместе:

$y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} + 0 = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

Результат можно также записать с использованием корня:

$y' = \frac{4}{5x^{\frac{1}{5}}} = \frac{4}{5\sqrt[5]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

121. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = 2 \sqrt{x-1}$

б) $y = 4^{x-1} - 2$

в) $y = \frac{1}{2} \log_2(x+1)$

г) $y = \sqrt[3]{x-2} + 1$

а) $y = 2\sqrt{x-1}$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sqrt{x}$ с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y=\sqrt{x-1}$.
2. Растяжение полученного графика вдоль оси Oy в 2 раза (умножение всех ординат на 2). В результате получаем искомый график функции $y=2\sqrt{x-1}$.

Проведем полное исследование функции:

• Область определения: Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
  $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
  Следовательно, $D(y) = [1, +\infty)$.
• Область значений: Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = 2\sqrt{x-1} \ge 0$.
  Следовательно, $E(y) = [0, +\infty)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): Найдем $x$, при котором $y=0$.
  $2\sqrt{x-1} = 0 \implies \sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
  График пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: Для этого нужно найти значение функции при $x=0$. Однако $x=0$ не входит в область определения функции, поэтому график не пересекает ось Oy.
• Промежутки монотонности: Функция является произведением положительной константы и возрастающей функции $\sqrt{x-1}$, поэтому она возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке $[1, +\infty)$.
• Точки экстремума: Функция имеет точку минимума в начальной точке своей области определения.
  $y_{min} = y(1) = 0$. Точка минимума: $(1, 0)$.
• Асимптоты: Горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот нет.
• Четность и нечетность: Область определения $D(y) = [1, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек:

• при $x=1$, $y = 2\sqrt{1-1} = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=2$, $y = 2\sqrt{2-1} = 2$. Точка $(2, 2)$.
• при $x=5$, $y = 2\sqrt{5-1} = 2\sqrt{4} = 4$. Точка $(5, 4)$.

Ответ: Функция определена при $x \in [1, +\infty)$, область значений $y \in [0, +\infty)$. Нуль функции в точке $(1, 0)$. Функция строго возрастает на всей области определения. График — это ветвь параболы, смещенная на 1 вправо по оси Ox и растянутая в 2 раза вдоль оси Oy, выходящая из точки $(1, 0)$.

б) $y = 4^{x-1} - 2$

График данной функции можно получить из графика базовой показательной функции $y=4^x$ с помощью преобразований:

1. Сдвиг графика $y=4^x$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=4^{x-1}$.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y=4^{x-1}-2$.

Проведем полное исследование функции:

• Область определения: Показательная функция определена для любых действительных значений аргумента.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Так как $4^{x-1} > 0$, то $y = 4^{x-1}-2 > -2$.
  Следовательно, $E(y) = (-2, +\infty)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): Решим уравнение $y=0$.
  $4^{x-1}-2 = 0 \implies 4^{x-1} = 2 \implies (2^2)^{x-1} = 2^1 \implies 2^{2x-2} = 2^1$.
  $2x-2 = 1 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.
  График пересекает ось Ox в точке $(1.5, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: Найдем значение функции при $x=0$.
  $y = 4^{0-1} - 2 = 4^{-1} - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -1.75$.
  График пересекает ось Oy в точке $(0, -1.75)$.
• Промежутки монотонности: Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Сдвиги не меняют характер монотонности. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.
• Точки экстремума: Экстремумов нет.
• Асимптоты: При $x \to -\infty$, $4^{x-1} \to 0$, следовательно $y \to -2$.
  Горизонтальная асимптота: $y=-2$. Вертикальных асимптот нет.
• Четность и нечетность: $y(-x) = 4^{-x-1}-2$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$, область значений $y \in (-2, +\infty)$. Пересекает ось Ox в точке $(1.5, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -1.75)$. Функция строго возрастает. Имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$. График — это экспонента $y=4^x$, смещенная на 1 вправо и на 2 вниз.

в) $y = \frac{1}{2}\log_2(x+1)$

График данной функции можно получить из графика базовой логарифмической функции $y=\log_2 x$ с помощью преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\log_2 x$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\log_2(x+1)$.
2. Сжатие полученного графика к оси Ox в 2 раза (умножение всех ординат на $\frac{1}{2}$). Получаем искомый график функции $y = \frac{1}{2}\log_2(x+1)$.

Проведем полное исследование функции:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
  $x+1 > 0 \implies x > -1$.
  Следовательно, $D(y) = (-1, +\infty)$.
• Область значений: Область значений логарифмической функции — все действительные числа.
  $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): Решим уравнение $y=0$.
  $\frac{1}{2}\log_2(x+1) = 0 \implies \log_2(x+1) = 0 \implies x+1 = 2^0 \implies x+1=1 \implies x=0$.
  График пересекает ось Ox в точке $(0, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: Так как $x=0$ является нулем функции, точка пересечения с осью Oy — это начало координат $(0, 0)$.
• Промежутки монотонности: Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Преобразования не меняют характер монотонности. Функция возрастает на всей области определения $(-1, +\infty)$.
• Точки экстремума: Экстремумов нет.
• Асимптоты: При $x \to -1^+$, $x+1 \to 0^+$, следовательно $\log_2(x+1) \to -\infty$ и $y \to -\infty$.
  Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальных асимптот нет.
• Четность и нечетность: Область определения $D(y) = (-1, +\infty)$ не является симметричной, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек:

• при $x=0$, $y = \frac{1}{2}\log_2(1) = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x=1$, $y = \frac{1}{2}\log_2(2) = 0.5$. Точка $(1, 0.5)$.
• при $x=3$, $y = \frac{1}{2}\log_2(4) = 1$. Точка $(3, 1)$.
• при $x=7$, $y = \frac{1}{2}\log_2(8) = 1.5$. Точка $(7, 1.5)$.

Ответ: Функция определена при $x \in (-1, +\infty)$, область значений $y \in (-\infty, +\infty)$. График пересекает оси координат в точке $(0,0)$. Функция строго возрастает. Имеет вертикальную асимптоту $x=-1$. График — это логарифмическая кривая $y=\log_2 x$, смещенная на 1 влево и сжатая в 2 раза к оси Ox.

г) $y = \sqrt[3]{x-2} + 1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sqrt[3]{x}$ с помощью преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\sqrt[3]{x-2}$.
2. Сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \sqrt[3]{x-2} + 1$.

Проведем полное исследование функции:

• Область определения: Кубический корень определен для любых действительных чисел.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Область значений функции кубического корня — все действительные числа.
  $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): Решим уравнение $y=0$.
  $\sqrt[3]{x-2} + 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x-2} = -1 \implies x-2 = (-1)^3 \implies x-2 = -1 \implies x=1$.
  График пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: Найдем значение функции при $x=0$.
  $y = \sqrt[3]{0-2} + 1 = \sqrt[3]{-2} + 1 = 1 - \sqrt[3]{2} \approx -0.26$.
  График пересекает ось Oy в точке $(0, 1-\sqrt[3]{2})$.
• Промежутки монотонности: Функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей числовой оси. Сдвиги не меняют монотонность. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty, +\infty)$.
• Точки экстремума: Экстремумов нет. Точка $(2, 1)$ является точкой перегиба.
• Асимптоты: Асимптот нет.
• Четность и нечетность: $y(-x) = \sqrt[3]{-x-2} + 1$. Так как $y(-x) \ne y(x)$ и $y(-x) \ne -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно точки перегиба $(2,1)$:

• при $x=2$, $y = \sqrt[3]{0}+1 = 1$. Точка перегиба $(2, 1)$.
• при $x=1$, $y = \sqrt[3]{-1}+1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=3$, $y = \sqrt[3]{1}+1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
• при $x=-6$, $y = \sqrt[3]{-8}+1 = -2+1=-1$. Точка $(-6, -1)$.
• при $x=10$, $y = \sqrt[3]{8}+1 = 2+1=3$. Точка $(10, 3)$.

Ответ: Функция определена и возрастает на всей числовой прямой, область значений $y \in \mathbb{R}$. Пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 1-\sqrt[3]{2})$. Асимптот нет. График — это кубическая парабола $y=\sqrt[3]{x}$, смещенная на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Точка перегиба — $(2,1)$.

Постройте графики функций (122, 123).

122.

а) $y = \sqrt{x-2} + 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$;

в) $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$;

г) $y = 1 + \log_2 (x+2)$.

а) Построение графика функции $y = \sqrt{x-2} + 1$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ (это ветвь параболы, направленная вправо, с вершиной в начале координат) с помощью последовательных геометрических преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = \sqrt{x}$. Ключевые точки для этого графика: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Далее, чтобы получить график функции $y = \sqrt{x-2}$, мы сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.
3. Наконец, чтобы получить искомый график $y = \sqrt{x-2} + 1$, мы сдвигаем график $y = \sqrt{x-2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина графика переместится из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 1)$.

Таким образом, мы получаем ветвь параболы, выходящую из точки $(2, 1)$ и идущую вправо-вверх.
Область определения функции: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Область значений функции: $y \ge 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2} + 1$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(2, 1)$.

б) Построение графика функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$.

График данной функции можно получить из графика базовой показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$. Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, то функция является убывающей.

1. Сначала строим график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$. Это убывающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Другие точки на графике: $(-1, 3)$, $(1, \frac{1}{3})$.
2. Чтобы получить график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$, мы сдвигаем график $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

В результате сдвига точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(1, 1)$, точка $(-1, 3)$ — в точку $(0, 3)$, а точка $(1, \frac{1}{3})$ — в точку $(2, \frac{1}{3})$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется на месте.
Область определения функции: $(-\infty, +\infty)$.
Область значений функции: $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}$ — это график показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(0, 3)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) Построение графика функции $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$.

Для удобства построения перепишем функцию в виде $y = -\sqrt[3]{x+1} + 2$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) путем последовательных преобразований.

1. Строим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат $(0, 0)$. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.
2. Чтобы получить $y = \sqrt[3]{x+1}$, сдвигаем график $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу влево. Центр симметрии смещается в точку $(-1, 0)$.
3. Чтобы получить $y = -\sqrt[3]{x+1}$, отражаем предыдущий график симметрично относительно оси Ox. Возрастающая кривая становится убывающей.
4. Чтобы получить искомый график $y = -\sqrt[3]{x+1} + 2$, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх. Центр симметрии смещается в точку $(-1, 2)$.

Ключевые точки итогового графика: центр симметрии $(-1, 2)$. Точка $(0, 1)$ (при $x=0$, $y=2-1=1$), точка $(-2, 3)$ (при $x=-2$, $y=2-(-1)=3$), точка $(7, 0)$ (при $x=7$, $y=2-2=0$).
Область определения и область значений — все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt[3]{x+1}$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвига на 2 единицы вверх. Центр симметрии графика находится в точке $(-1, 2)$.

г) Построение графика функции $y = 1 + \log_2(x+2)$.

График данной функции можно получить из графика базовой логарифмической функции $y = \log_2(x)$. Так как основание логарифма $a=2 > 1$, функция является возрастающей.

1. Сначала строим график функции $y = \log_2(x)$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy). Другие точки: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(\frac{1}{2}, -1)$.
2. Чтобы получить график $y = \log_2(x+2)$, мы сдвигаем график $y = \log_2(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-2$.
3. Чтобы получить искомый график $y = 1 + \log_2(x+2)$, мы сдвигаем полученный график $y = \log_2(x+2)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

В результате преобразований вертикальная асимптота графика — прямая $x=-2$. Точка $(1, 0)$ с базового графика переместится в точку $(-1, 1)$. Точка $(2, 1)$ — в точку $(0, 2)$.
Область определения функции: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Область значений функции: $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \log_2(x+2)$ — это график функции $y = \log_2(x)$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=-2$.

123. а) $y = 5^{\log_5 (x-1)}$;

б) $y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right| - 1$;

в) $y = 2^{|x|}$;

г) $y = \log_2 x^2$.

а) $y = 5^{\log_5 (x-1)}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.

В данном случае $a=5$ и $b=x-1$. Прежде чем применять тождество, найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 1 > 0$ $x > 1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (1; +\infty)$.

Теперь, с учетом ОДЗ, мы можем упростить исходное выражение: $y = 5^{\log_5 (x-1)} = x - 1$

Итак, функция представляет собой прямую $y = x - 1$, но определенную только для $x > 1$. Графиком является луч, который начинается в точке $(1, 0)$ (точка выколота, так как неравенство $x > 1$ строгое) и идет вверх под углом 45 градусов к оси Ох.

Область значений функции: так как $x > 1$, то $y = x - 1 > 1 - 1 = 0$. Следовательно, $E(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$, область определения $x \in (1; +\infty)$.

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x| - 1$

Построим график этой функции путем последовательных преобразований.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Такая функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Далее строим график функции $y_2 = |y_1| = |\log_{\frac{1}{2}} x|$. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ох (где $y_1 < 0$), симметрично отражается относительно этой оси, а часть графика, которая находится выше или на оси Ох, остается без изменений.

• Для $0 < x \leq 1$, имеем $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$, поэтому $|\log_{\frac{1}{2}} x| = \log_{\frac{1}{2}} x$.
• Для $x > 1$, имеем $\log_{\frac{1}{2}} x < 0$, поэтому $|\log_{\frac{1}{2}} x| = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{(\frac{1}{2})^{-1}} x = \log_2 x$.

График $y_2$ будет состоять из двух ветвей, сходящихся в точке $(1, 0)$.

3. Наконец, строим график искомой функции $y = y_2 - 1 = |\log_{\frac{1}{2}} x| - 1$. Это преобразование сдвигает весь график функции $y_2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Оу.

В результате точка минимума $(1, 0)$ переместится в точку $(1, -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохранится. Область определения остается $x > 0$. Область значений функции: $y \ge -1$, то есть $E(y) = [-1; +\infty)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем отражения его части при $x>1$ относительно оси Ох и последующего сдвига всего графика на 1 единицу вниз. Минимальное значение функции равно -1 и достигается в точке $x=1$.

в) $y = 2^{|x|}$

Для построения графика этой функции рассмотрим два случая, исходя из определения модуля.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2^x$. Это стандартная показательная функция с основанием больше 1, она возрастает.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1, она убывает.

Таким образом, итоговый график состоит из двух частей:

• справа от оси Оу (для $x \ge 0$) он совпадает с графиком $y = 2^x$;
• слева от оси Оу (для $x < 0$) он совпадает с графиком $y = (\frac{1}{2})^x$.

Обе части "стыкуются" в точке $(0, 1)$, так как $2^{|0|} = 2^0 = 1$.

Также можно заметить, что функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Оу. Поэтому можно построить график $y=2^x$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Оу.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: так как $|x| \ge 0$, то $y = 2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Следовательно, $E(y) = [1; +\infty)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Оу. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = 2^x$, а при $x < 0$ — с графиком $y = (\frac{1}{2})^x$. Минимальное значение функции равно 1 и достигается в точке $x=0$.

г) $y = \log_2 x^2$

Сначала найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 > 0$

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь преобразуем функцию, используя свойство логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \log_a |b|$. Важно использовать модуль, так как исходная функция определена и для отрицательных $x$. $y = \log_2 (x^2) = 2 \log_2 |x|$

Функция $y = 2 \log_2 |x|$ является четной, так как $y(-x) = 2 \log_2 |-x| = 2 \log_2 |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Оу.

Для построения графика достаточно построить его для $x > 0$ и затем отразить симметрично относительно оси Оу. При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2 \log_2 x$. Это график функции $y = \log_2 x$, растянутый в 2 раза вдоль оси Оу. Он проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Отражая эту часть графика относительно оси Оу, получаем вторую ветвь для $x < 0$. Она будет проходить через точку $(-1, 0)$ и также иметь асимптоту $x=0$.

Область определения: $x \ne 0$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Функция эквивалентна $y = 2 \log_2 |x|$. Ее график состоит из двух симметричных относительно оси Оу ветвей. При $x > 0$ график совпадает с графиком $y = 2 \log_2 x$. Область определения $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

a) $y = \sqrt{36 - x^2}$;

б) $y = \begin{cases} \frac{1}{x+1} & \text{при } 0 \le x \le 7, \\ x^3+1 & \text{при } -2 \le x < 0; \end{cases}$

в) $y = 3^{\sin x}$;

г) $y = \begin{cases} (x-1)^2 & \text{при } -1 \le x < 1, \\ \log_2 x & \text{при } 1 \le x \le 8. \end{cases}$

а) Функция $y = \sqrt{36 - x^2}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $36 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 36$, откуда следует, что область определения функции $D(y)$ есть отрезок $[-6, 6]$.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, исследуем выражение $u(x) = 36 - x^2$ на отрезке $[-6, 6]$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $x=0$.
Следовательно, наибольшее значение $u(x)$ достигается в вершине: $u_{наиб} = u(0) = 36 - 0^2 = 36$.
Наименьшее значение $u(x)$ достигается на концах отрезка: $u_{наим} = u(\pm 6) = 36 - (\pm 6)^2 = 0$.
Так как функция $y = \sqrt{u}$ является возрастающей, ее наибольшее и наименьшее значения будут достигаться при наибольшем и наименьшем значениях аргумента $u$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \sqrt{u_{наиб}} = \sqrt{36} = 6$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \sqrt{u_{наим}} = \sqrt{0} = 0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно 0.

б) Функция задана кусочно на объединении промежутков $[-2, 0) \cup [0, 7]$, то есть на отрезке $[-2, 7]$. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом из промежутков.
1. На промежутке $[-2, 0)$ функция имеет вид $y = x^3+1$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на промежутке $[-2, 0)$ она принимает наименьшее значение в левой граничной точке $x=-2$: $y(-2) = (-2)^3+1 = -8+1 = -7$. Правая граничная точка $x=0$ не входит в данный промежуток, но при $x \to 0$ слева, значения функции стремятся к $0^3+1 = 1$. Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат полуинтервалу $[-7, 1)$.
2. На отрезке $[0, 7]$ функция имеет вид $y = \frac{1}{x+1}$. Так как знаменатель $x+1$ на этом отрезке положителен и возрастает, сама функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$: $y(0) = \frac{1}{0+1} = 1$. Наименьшее значение она принимает в правой граничной точке $x=7$: $y(7) = \frac{1}{7+1} = \frac{1}{8}$. На этом отрезке значения функции принадлежат отрезку $[\frac{1}{8}, 1]$.
Объединяя множества значений с обоих промежутков, получаем $[-7, 1) \cup [\frac{1}{8}, 1] = [-7, 1]$.
Отсюда, наименьшее значение функции на всей области определения равно -7, а наибольшее значение равно 1.
Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение равно -7.

в) Рассмотрим функцию $y = 3^{\sin x}$. Областью значений функции синуса является отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для всех действительных $x$.
Показательная функция $y(u) = 3^u$ с основанием $3 > 1$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $u = \sin x$ соответствует большее значение функции $y$.
Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении показателя, то есть когда $\sin x = -1$:
$y_{наим} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Наибольшее значение функции достигается при наибольшем значении показателя, то есть когда $\sin x = 1$:
$y_{наиб} = 3^1 = 3$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно $\frac{1}{3}$.

г) Функция задана кусочно на объединении промежутков $[-1, 1) \cup [1, 8]$, то есть на отрезке $[-1, 8]$. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом из промежутков.
1. На промежутке $[-1, 1)$ функция имеет вид $y = (x-1)^2$. График этой функции — парабола с вершиной в точке $x=1$ и ветвями вверх. На заданном промежутке $[-1, 1)$ эта функция убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в левой граничной точке $x=-1$: $y(-1) = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$. Правая граничная точка $x=1$ является точкой минимума (вершиной параболы), но она не входит в данный промежуток. При $x \to 1$ слева, значения функции стремятся к $(1-1)^2 = 0$. Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат полуинтервалу $(0, 4]$.
2. На отрезке $[1, 8]$ функция имеет вид $y = \log_2 x$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=1$: $y(1) = \log_2 1 = 0$. Наибольшее значение она принимает в правой граничной точке $x=8$: $y(8) = \log_2 8 = \log_2(2^3) = 3$. На этом отрезке значения функции принадлежат отрезку $[0, 3]$.
Объединяя множества значений с обоих промежутков, получаем $(0, 4] \cup [0, 3] = [0, 4]$.
Отсюда, наименьшее значение функции на всей области определения равно 0 (достигается при $x=1$), а наибольшее значение равно 4 (достигается при $x=-1$).
Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение равно 0.

125. Решите графически уравнение:

а) $log_{\frac{1}{2}} x = x - 3;$

б) $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x};$

в) $log_2 x = 2^{5-x};$

г) $2^{|x|} = 11 - |x|.$

а) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{2}} x = x - 3$ графическим методом, построим графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x - 3$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием меньше 1, поэтому она является убывающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$. Найдем еще несколько точек:

• при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$;
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$;
• при $x = \frac{1}{2}$, $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

2. График функции $y_2 = x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Построим ее по двум точкам:

• при $x = 0$, $y = -3$;
• при $x = 3$, $y = 0$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Проверим, является ли точка с абсциссой $x=2$ точкой пересечения. Для $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$: при $x=2$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Для $y_2 = x - 3$: при $x=2$, $y_2 = 2 - 3 = -1$. Так как значения $y_1$ и $y_2$ совпали, точка $(2, -1)$ является точкой пересечения графиков. Поскольку одна функция убывающая, а другая возрастающая, других точек пересечения нет.

Ответ: $x = 2$.

б) Для решения уравнения $\sqrt{x-2} = \frac{3}{x}$ построим графики функций $y_1 = \sqrt{x-2}$ и $y_2 = \frac{3}{x}$.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-2}$. Это ветвь параболы. Область определения: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Функция является возрастающей на всей области определения. Найдем несколько точек:

• при $x=2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$;
• при $x=3$, $y = \sqrt{3-2} = 1$;
• при $x=6$, $y = \sqrt{6-2} = 2$.

2. График функции $y_2 = \frac{3}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Поскольку область определения первой функции $x \ge 2$, нас интересует только часть гиперболы в I четверти. Эта функция убывает при $x > 0$. Найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y = 3$;
• при $x=3$, $y = 1$;
• при $x=6$, $y = \frac{3}{6} = 0.5$.

Построив графики, видим, что они пересекаются. Найдем абсциссу точки пересечения. Проверим значение $x=3$: Для $y_1 = \sqrt{x-2}$: при $x=3$, $y_1 = \sqrt{3-2} = 1$. Для $y_2 = \frac{3}{x}$: при $x=3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит обоим графикам. Так как на общей области определения ($x \ge 2$) одна функция возрастает, а другая убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x = 3$.

в) Для решения уравнения $\log_2 x = 2^{5-x}$ построим графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^{5-x}$.

1. График функции $y_1 = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y=0$;
• при $x=2$, $y=1$;
• при $x=4$, $y=2$;
• при $x=8$, $y=3$.

2. График функции $y_2 = 2^{5-x}$. Это убывающая показательная функция, так как ее можно записать в виде $y_2 = 2^5 \cdot 2^{-x} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^x$. Найдем несколько точек:

• при $x=3$, $y = 2^{5-3} = 2^2 = 4$;
• при $x=4$, $y = 2^{5-4} = 2^1 = 2$;
• при $x=5$, $y = 2^{5-5} = 2^0 = 1$.

Сравнивая значения функций в вычисленных точках, видим, что при $x=4$ значения совпадают: $y_1(4) = \log_2 4 = 2$. $y_2(4) = 2^{5-4} = 2^1 = 2$. Точка $(4, 2)$ является точкой пересечения. Поскольку функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x = 4$.

г) Для решения уравнения $2^{|x|} = 11 - |x|$, введем замену $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение примет вид $2^t = 11 - t$. Решим его графически относительно переменной $t$.

Построим графики функций $y_1 = 2^t$ и $y_2 = 11 - t$ для $t \ge 0$.

1. График функции $y_1 = 2^t$. Это возрастающая показательная функция.

• при $t=0$, $y=1$;
• при $t=1$, $y=2$;
• при $t=2$, $y=4$;
• при $t=3$, $y=8$.

2. График функции $y_2 = 11 - t$. Это убывающая линейная функция (луч, начинающийся в точке $(0, 11)$).

• при $t=0$, $y=11$;
• при $t=3$, $y=8$;
• при $t=11$, $y=0$.

Из построенных графиков и таблиц значений видно, что графики пересекаются в точке, где $t=3$: $y_1(3) = 2^3 = 8$. $y_2(3) = 11 - 3 = 8$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то точка пересечения единственная. Итак, $t=3$. Вернемся к исходной переменной: $|x| = t \Rightarrow |x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.