Страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите системы уравнений (180–183).

180. a) $\begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 5x + 4y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 9y = 12, \\ 4x - 12y = 16; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 8y = 0, \\ x - 1{,}6y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 5x + 4y = 1. \end{cases} $
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 5(2x + 3y) = 5(-1), \\ -2(5x + 4y) = -2(1); \end{cases} $
$ \begin{cases} 10x + 15y = -5, \\ -10x - 8y = -2. \end{cases} $
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:
$(10x + 15y) + (-10x - 8y) = -5 + (-2)$
$7y = -7$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y = -1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$2x + 3(-1) = -1$
$2x - 3 = -1$
$2x = -1 + 3$
$2x = 2$
$x = 1$
Проверим решение, подставив значения $x=1$ и $y=-1$ во второе уравнение: $5(1) + 4(-1) = 5 - 4 = 1$. Равенство верно.
Ответ: $(1, -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x - 9y = 12, \\ 4x - 12y = 16. \end{cases} $
Заметим, что оба уравнения можно упростить. Разделим обе части первого уравнения на 3:
$(3x - 9y) : 3 = 12 : 3$
$x - 3y = 4$
Разделим обе части второго уравнения на 4:
$(4x - 12y) : 4 = 16 : 4$
$x - 3y = 4$
После преобразований мы получили два одинаковых уравнения. Это означает, что графики этих линейных функций совпадают, и система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет уравнению $x - 3y = 4$, является решением системы.
Выразим одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:
$x = 4 + 3y$
Таким образом, решением является любая пара чисел вида $(4+3y, y)$, где $y$ — любое действительное число.
Ответ: бесконечное множество решений вида $(4+3y, y)$, где $y \in \mathbb{R}$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 5. \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения легко выразить переменную $x$:
$x = 7 - 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$2(7 - 2y) - 3y = 5$
$14 - 4y - 3y = 5$
$14 - 7y = 5$
$-7y = 5 - 14$
$-7y = -9$
$y = \frac{-9}{-7} = \frac{9}{7}$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение $x = 7 - 2y$:
$x = 7 - 2 \cdot \frac{9}{7} = 7 - \frac{18}{7} = \frac{49}{7} - \frac{18}{7} = \frac{31}{7}$
Проверим, подставив найденные значения $x=\frac{31}{7}$ и $y=\frac{9}{7}$ во второе уравнение: $2(\frac{31}{7}) - 3(\frac{9}{7}) = \frac{62}{7} - \frac{27}{7} = \frac{35}{7} = 5$. Равенство верно.
Ответ: $(\frac{31}{7}, \frac{9}{7})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 8y = 0, \\ x - 1.6y = 1. \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 1 + 1.6y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$5(1 + 1.6y) - 8y = 0$
$5 + 8y - 8y = 0$
$5 = 0$
В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы одновременно удовлетворяли обоим уравнениям системы. Следовательно, система не имеет решений.
Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны. Чтобы убедиться в этом, приведем оба уравнения к виду $y=kx+b$:
Первое уравнение: $5x - 8y = 0 \implies 8y = 5x \implies y = \frac{5}{8}x$.
Второе уравнение: $x - 1.6y = 1 \implies 1.6y = x - 1 \implies y = \frac{1}{1.6}x - \frac{1}{1.6}$.
Поскольку $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$, то $\frac{1}{1.6} = \frac{5}{8}$. Второе уравнение имеет вид $y = \frac{5}{8}x - \frac{5}{8}$.
Угловые коэффициенты прямых равны ($k = \frac{5}{8}$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1=0$, $b_2=-\frac{5}{8}$), что и подтверждает их параллельность.
Ответ: решений нет.

181. а) $\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^3 - y^3 = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{y}{x} = 2, \\ (x - 1)^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{13}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{13}{6}$

$6(x^2 + y^2) = 13xy$

Из второго уравнения системы $x + y = 5$. Возведем обе части в квадрат:

$(x + y)^2 = 5^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = 25$

Отсюда выразим $x^2 + y^2 = 25 - 2xy$.

Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$6(25 - 2xy) = 13xy$

$150 - 12xy = 13xy$

$150 = 25xy$

$xy = 6$

Теперь решаем новую, более простую систему:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Находим корни: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^3 - y^3 = 7 \end{cases}$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7$

Подставим $x - y = 1$ из первого уравнения:

$1 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7$

$x^2 + xy + y^2 = 7$

Из первого уравнения $x - y = 1$ также следует, что $(x-y)^2 = 1^2$, то есть $x^2 - 2xy + y^2 = 1$.

Преобразуем выражение $x^2 + xy + y^2$, выделив полный квадрат разности:

$(x^2 - 2xy + y^2) + 3xy = 7$

Подставим $x^2 - 2xy + y^2 = 1$:

$1 + 3xy = 7$

$3xy = 6$

$xy = 2$

Решаем систему:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем $x = y + 1$ и подставляем во второе:

$(y + 1)y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x} = 2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0$.

Из первого уравнения выражаем $y$: $y = 2x$.

Подставляем это выражение во второе уравнение:

$(x - 1)^2 + (2x)^2 = 1$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$x^2 - 2x + 1 + 4x^2 = 1$

$5x^2 - 2x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(5x - 2) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{2}{5}$.

Так как $x \neq 0$, корень $x_1 = 0$ является посторонним.

Остается $x = \frac{2}{5}$.

Находим соответствующее значение $y$: $y = 2x = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого уравнения:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 35$

Подставляем $x + y = 5$ из второго уравнения:

$5(x^2 - xy + y^2) = 35$

$x^2 - xy + y^2 = 7$

Из второго уравнения $x + y = 5$ следует, что $(x+y)^2 = 5^2$, то есть $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Отсюда $x^2 + y^2 = 25 - 2xy$.

Подставим это в преобразованное первое уравнение:

$(25 - 2xy) - xy = 7$

$25 - 3xy = 7$

$18 = 3xy$

$xy = 6$

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Эта система идентична системе из пункта а). Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

182. a) $\begin{cases} (x - y) (x^2 - y^2) = 45, \\ x + y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12, \\ x^2 y^3 - x^3 y^2 = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 y^3 = 16, \\ x^3 y^2 = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - xy = 28, \\ y^2 - xy = -12. \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 45 \\ x + y = 5 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - y)(x - y)(x + y) = 45$
$(x - y)^2 (x + y) = 45$
Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$(x - y)^2 \cdot 5 = 45$
Разделим обе части уравнения на 5:
$(x - y)^2 = 9$
Из этого уравнения следует, что $x-y$ может быть равен 3 или -3. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - y = 3$.
Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + 3$, что дает $2x = 8$, откуда $x = 4$.
Подставим значение $x=4$ в уравнение $x+y=5$: $4 + y = 5$, откуда $y = 1$.
Таким образом, одно из решений — $(4, 1)$.

Случай 2: $x - y = -3$.
Получаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -3 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + (-3)$, что дает $2x = 2$, откуда $x = 1$.
Подставим значение $x=1$ в уравнение $x+y=5$: $1 + y = 5$, откуда $y = 4$.
Таким образом, второе решение — $(1, 4)$.

Ответ: $(4, 1), (1, 4)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12 \\ x^2 y^3 - x^3 y^2 = 4 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения:
$(x^2 y^3 + x^3 y^2) + (x^2 y^3 - x^3 y^2) = 12 + 4$
$2x^2 y^3 = 16$
$x^2 y^3 = 8$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 y^3 + x^3 y^2) - (x^2 y^3 - x^3 y^2) = 12 - 4$
$2x^3 y^2 = 8$
$x^3 y^2 = 4$
Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x^2 y^3 = 8 \\ x^3 y^2 = 4 \end{cases} $
Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, иначе уравнения неверны. Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{8}{4}$
$\frac{y}{x} = 2$, откуда $y = 2x$.
Подставим $y = 2x$ в уравнение $x^3 y^2 = 4$:
$x^3 (2x)^2 = 4$
$x^3 \cdot 4x^2 = 4$
$4x^5 = 4$
$x^5 = 1$, откуда $x=1$.
Теперь найдем $y$: $y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $(1, 2)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 y^3 = 16 \\ x^3 y^2 = 2 \end{cases} $
Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ (и не равны нулю, так как правые части не равны нулю), из первого уравнения $x^2 y^3 = 16$ следует, что $y^3 > 0$, то есть $y>0$. Из второго уравнения $x^3 y^2 = 2$ следует, что $x^3 > 0$, то есть $x>0$.
Перемножим уравнения системы:
$(x^2 y^3)(x^3 y^2) = 16 \cdot 2$
$x^5 y^5 = 32$
$(xy)^5 = 2^5$, откуда $xy = 2$.
Теперь разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{16}{2}$
$\frac{y}{x} = 8$, откуда $y=8x$.
Подставим $y=8x$ в уравнение $xy=2$:
$x(8x) = 2$
$8x^2 = 2$
$x^2 = \frac{1}{4}$
Поскольку мы установили, что $x > 0$, выбираем положительный корень: $x = \frac{1}{2}$.
Найдем $y$: $y = 8x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy = 28 \\ y^2 - xy = -12 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 28 - (-12)$
$x^2 - y^2 = 40$
Сложим оба уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 28 + (-12)$
$x^2 - 2xy + y^2 = 16$
$(x - y)^2 = 16$, откуда $x - y = 4$ или $x - y = -4$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - y = 4$.
Подставим это в уравнение $x^2 - y^2 = 40$. Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-y)(x+y) = 40$.
$4(x+y) = 40$, откуда $x+y=10$.
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 10 \end{cases} $
Сложив уравнения, находим $2x=14$, т.е. $x=7$. Подставив $x=7$ в $x+y=10$, получаем $y=3$.
Первое решение: $(7, 3)$.

Случай 2: $x - y = -4$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y) = 40$:
$-4(x+y) = 40$, откуда $x+y=-10$.
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -10 \end{cases} $
Сложив уравнения, находим $2x=-14$, т.е. $x=-7$. Подставив $x=-7$ в $x+y=-10$, получаем $y=-3$.
Второе решение: $(-7, -3)$.

Ответ: $(7, 3), (-7, -3)$.

183. a) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^3 y^3 = -8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ xy = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^3 y^3 = -8 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x^3$ и $b = y^3$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 7, \\ ab = -8 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 7t - 8 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1$, $t_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$.

Таким образом, мы имеем два случая:

1. $a = -1$ и $b = 8$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$ и $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$.
Первое решение: $(-1, 2)$.

2. $a = 8$ и $b = -1$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$ и $y^3 = -1 \Rightarrow y = -1$.
Второе решение: $(2, -1)$.

Ответ: $(-1, 2), (2, -1)$.

б) $ \begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x = \frac{2}{y^2}$ (заметим, что $y \neq 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$

$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$

Введем замену $z = y^4$. Так как $y$ - вещественное число и $y \neq 0$, то $z>0$. Уравнение примет вид:

$\frac{4}{z} + z = 5$

Умножим обе части на $z$ (так как $z \neq 0$):

$4 + z^2 = 5z$

$z^2 - 5z + 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $z_1 = 1$, $z_2 = 4$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Рассмотрим два случая:

1. $z = 1 \Rightarrow y^4 = 1$. Тогда $y^2 = 1$ (так как $y^2 > 0$), откуда $y = \pm 1$.
Если $y=1$, то $x = \frac{2}{1^2} = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = \frac{2}{(-1)^2} = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

2. $z = 4 \Rightarrow y^4 = 4$. Тогда $y^2 = 2$, откуда $y = \pm \sqrt{2}$.
Если $y=\sqrt{2}$, то $x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, \sqrt{2})$.
Если $y=-\sqrt{2}$, то $x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2})$.

в) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ xy = 2 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Преобразуем ее, используя $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:

$x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

Подставим известные значения из системы:

$9 = (x+y)((x+y)^2 - 3 \cdot 2)$

$9 = (x+y)((x+y)^2 - 6)$

Сделаем замену $S = x+y$. Получим кубическое уравнение: $S(S^2-6) = 9$ или $S^3 - 6S - 9 = 0$.

Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-9): $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверкой убеждаемся, что $S=3$ является корнем: $3^3 - 6 \cdot 3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.

Разделим многочлен $S^3 - 6S - 9$ на $(S-3)$ и получим $(S-3)(S^2+3S+3) = 0$.
Квадратное уравнение $S^2+3S+3=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D=3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$.

Следовательно, единственное действительное решение для $S$ - это $S=3$.

Возвращаемся к исходным переменным. Теперь нам нужно решить систему:

$ \begin{cases} x+y=3, \\ xy=2 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=2$.

Значит, решения системы: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

г) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u+v=5, \\ u^2+v^2=13 \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат: $(u+v)^2 = 5^2 \Rightarrow u^2 + 2uv + v^2 = 25$.

Мы знаем из второго уравнения, что $u^2+v^2=13$. Подставим это значение:

$13 + 2uv = 25$

$2uv = 12$

$uv = 6$

Теперь решим систему для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u+v=5, \\ uv=6 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1=2, t_2=3$.

Рассмотрим два случая:

1. $u=2, v=3$. Возвращаясь к исходным переменным: $\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y}=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3}$.
Первое решение: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.

2. $u=3, v=2$. Возвращаясь к исходным переменным: $\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{y}=2 \Rightarrow y=\frac{1}{2}$.
Второе решение: $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

184. При каком значении а система уравнений:

a) $\begin{cases} x - 5y = 7, \\ ax - y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = a, \\ 2x + 4y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + ay = 2, \\ 3x - 2y = -6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 2x - 2y = 2a - \end{cases}$

имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y = 7 \\ ax - y = -3 \end{cases} $$ Для анализа количества решений системы воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Обозначим коэффициенты первого уравнения как $A_1=1, B_1=-5, C_1=7$ и второго уравнения как $A_2=a, B_2=-1, C_2=-3$.
Система имеет единственное решение, когда отношение коэффициентов при переменных не равно друг другу, то есть $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. $$ \frac{1}{a} \neq \frac{-5}{-1} \implies \frac{1}{a} \neq 5 $$ Это условие эквивалентно $a \neq \frac{1}{5}$. При этом нужно учесть случай $a=0$. Если $a=0$, то система имеет вид $\begin{cases} x-5y=7 \\ -y=-3 \end{cases}$, которая имеет единственное решение ($y=3, x=22$). Таким образом, система имеет единственное решение при всех $a \neq 1/5$.
Если $a = 1/5$, то отношения коэффициентов при переменных равны: $\frac{1}{1/5} = \frac{-5}{-1} = 5$. Сравним это с отношением свободных членов: $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} $$ Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений.
Система никогда не имеет бесконечного множества решений, так как для этого необходимо выполнение равенства $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, что в данном случае невозможно.
Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq 1/5$; не имеет решений при $a = 1/5$; не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении $a$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = a \\ 2x + 4y = 5 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=2, C_1=a$ и $A_2=2, B_2=4, C_2=5$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, система никогда не имеет единственного решения. Ее решение зависит от отношения свободных членов.
Система имеет бесконечное множество решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} = \frac{a}{5} \implies 2a = 5 \implies a = \frac{5}{2} $$
Система не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} \neq \frac{a}{5} \implies a \neq \frac{5}{2} $$
Ответ: система не имеет единственного решения ни при каком значении $a$; не имеет решений при $a \neq 5/2$; имеет бесконечное множество решений при $a = 5/2$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + ay = 2 \\ 3x - 2y = -6 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=a, C_1=2$ и $A_2=3, B_2=-2, C_2=-6$.
Система имеет единственное решение, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. $$ \frac{1}{3} \neq \frac{a}{-2} \implies -2 \neq 3a \implies a \neq -\frac{2}{3} $$
Если $a = -2/3$, то отношения коэффициентов при переменных равны: $\frac{1}{3} = \frac{-2/3}{-2}$. Сравним это с отношением свободных членов: $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $$ Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений при $a = -2/3$.
Система никогда не имеет бесконечного множества решений, так как равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется.
Ответ: система имеет единственное решение при $a \neq -2/3$; не имеет решений при $a = -2/3$; не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении $a$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 2a \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1=1, B_1=-1, C_1=2$ и $A_2=2, B_2=-2, C_2=2a$.
Найдем отношения коэффициентов при переменных $x$ и $y$: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $$ Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, система никогда не имеет единственного решения.
Система имеет бесконечное множество решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} \implies a=2 $$
Система не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. $$ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{a} \implies a \neq 2 $$
Ответ: система не имеет единственного решения ни при каком значении $a$; не имеет решений при $a \neq 2$; имеет бесконечное множество решений при $a = 2$.

185. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 2x > 3 - \frac{13x-2}{11}, \\ \frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2, \\ 1,5x - 2,5 < x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} \ge \frac{x-1}{4} - x - 2, \\ 0,5x < 2 - x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2(3x-1) < 3(4x+1)+16, \\ 4(2+x) < 3x+8. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x > 3 - \frac{13x-2}{11} \\ \frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2x > 3 - \frac{13x-2}{11}$

Умножим обе части неравенства на 11, чтобы избавиться от знаменателя:

$11 \cdot 2x > 11 \cdot 3 - 11 \cdot \frac{13x-2}{11}$

$22x > 33 - (13x-2)$

$22x > 33 - 13x + 2$

$22x > 35 - 13x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой:

$22x + 13x > 35$

$35x > 35$

Разделим обе части на 35:

$x > 1$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{6} + \frac{2}{3}(x-7) < \frac{3x-20}{9}$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{x}{6} + \frac{2x-14}{3} < \frac{3x-20}{9}$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 18:

$18 \cdot \frac{x}{6} + 18 \cdot \frac{2x-14}{3} < 18 \cdot \frac{3x-20}{9}$

$3x + 6(2x-14) < 2(3x-20)$

$3x + 12x - 84 < 6x - 40$

$15x - 84 < 6x - 40$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$15x - 6x < -40 + 84$

$9x < 44$

$x < \frac{44}{9}$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Решением системы является интервал, удовлетворяющий условиям $x > 1$ и $x < \frac{44}{9}$.

Таким образом, $1 < x < \frac{44}{9}$.

Ответ: $x \in (1; \frac{44}{9})$

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2 \\ 1,5x - 2,5 < x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$x - \frac{x+1}{2} - \frac{x+4}{3} \le \frac{x-1}{4} - 2$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12x - 12 \cdot \frac{x+1}{2} - 12 \cdot \frac{x+4}{3} \le 12 \cdot \frac{x-1}{4} - 12 \cdot 2$

$12x - 6(x+1) - 4(x+4) \le 3(x-1) - 24$

$12x - 6x - 6 - 4x - 16 \le 3x - 3 - 24$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$2x - 22 \le 3x - 27$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$-22 + 27 \le 3x - 2x$

$5 \le x$

2. Решим второе неравенство:

$1,5x - 2,5 < x$

$1,5x - x < 2,5$

$0,5x < 2,5$

Разделим обе части на 0,5:

$x < 5$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge 5$ и $x < 5$.

Не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно 5 и строго меньше 5. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} > \frac{x-1}{4} - x - 2 \\ 0,5x < 2 - x \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x+1}{2} - \frac{x}{3} > \frac{x-1}{4} - x - 2$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{x+1}{2} - 12 \cdot \frac{x}{3} > 12 \cdot \frac{x-1}{4} - 12x - 12 \cdot 2$

$6(x+1) - 4x > 3(x-1) - 12x - 24$

$6x + 6 - 4x > 3x - 3 - 12x - 24$

$2x + 6 > -9x - 27$

$2x + 9x > -27 - 6$

$11x > -33$

$x > -3$

2. Решим второе неравенство:

$0,5x < 2 - x$

$0,5x + x < 2$

$1,5x < 2$

$x < \frac{2}{1,5}$

$x < \frac{2}{3/2}$

$x < \frac{4}{3}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -3$ и $x < \frac{4}{3}$.

Получаем двойное неравенство: $-3 < x < \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-3; \frac{4}{3})$

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(3x-1) < 3(4x+1) + 16 \\ 4(2+x) < 3x + 8 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2(3x-1) < 3(4x+1) + 16$

Раскроем скобки:

$6x - 2 < 12x + 3 + 16$

$6x - 2 < 12x + 19$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-2 - 19 < 12x - 6x$

$-21 < 6x$

$\frac{-21}{6} < x$

$-\frac{7}{2} < x$

2. Решим второе неравенство:

$4(2+x) < 3x + 8$

$8 + 4x < 3x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$4x - 3x < 8 - 8$

$x < 0$

3. Найдем пересечение решений: $x > -\frac{7}{2}$ и $x < 0$.

Получаем двойное неравенство: $-\frac{7}{2} < x < 0$.

Ответ: $x \in (-\frac{7}{2}; 0)$