Номер 183, страница 301 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 183, страница 301.

Условие.

183. a) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^3 y^3 = -8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ xy = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^3 y^3 = -8 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x^3$ и $b = y^3$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 7, \\ ab = -8 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 7t - 8 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1$, $t_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$.

Таким образом, мы имеем два случая:

1. $a = -1$ и $b = 8$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$ и $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$.
Первое решение: $(-1, 2)$.

2. $a = 8$ и $b = -1$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$ и $y^3 = -1 \Rightarrow y = -1$.
Второе решение: $(2, -1)$.

Ответ: $(-1, 2), (2, -1)$.

б) $ \begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x = \frac{2}{y^2}$ (заметим, что $y \neq 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$

$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$

Введем замену $z = y^4$. Так как $y$ - вещественное число и $y \neq 0$, то $z>0$. Уравнение примет вид:

$\frac{4}{z} + z = 5$

Умножим обе части на $z$ (так как $z \neq 0$):

$4 + z^2 = 5z$

$z^2 - 5z + 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $z_1 = 1$, $z_2 = 4$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Рассмотрим два случая:

1. $z = 1 \Rightarrow y^4 = 1$. Тогда $y^2 = 1$ (так как $y^2 > 0$), откуда $y = \pm 1$.
Если $y=1$, то $x = \frac{2}{1^2} = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = \frac{2}{(-1)^2} = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

2. $z = 4 \Rightarrow y^4 = 4$. Тогда $y^2 = 2$, откуда $y = \pm \sqrt{2}$.
Если $y=\sqrt{2}$, то $x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, \sqrt{2})$.
Если $y=-\sqrt{2}$, то $x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2})$.

в) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 9, \\ xy = 2 \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Преобразуем ее, используя $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:

$x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

Подставим известные значения из системы:

$9 = (x+y)((x+y)^2 - 3 \cdot 2)$

$9 = (x+y)((x+y)^2 - 6)$

Сделаем замену $S = x+y$. Получим кубическое уравнение: $S(S^2-6) = 9$ или $S^3 - 6S - 9 = 0$.

Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-9): $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверкой убеждаемся, что $S=3$ является корнем: $3^3 - 6 \cdot 3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.

Разделим многочлен $S^3 - 6S - 9$ на $(S-3)$ и получим $(S-3)(S^2+3S+3) = 0$.
Квадратное уравнение $S^2+3S+3=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D=3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$.

Следовательно, единственное действительное решение для $S$ - это $S=3$.

Возвращаемся к исходным переменным. Теперь нам нужно решить систему:

$ \begin{cases} x+y=3, \\ xy=2 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1=1, t_2=2$.

Значит, решения системы: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

г) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u+v=5, \\ u^2+v^2=13 \end{cases} $

Возведем первое уравнение в квадрат: $(u+v)^2 = 5^2 \Rightarrow u^2 + 2uv + v^2 = 25$.

Мы знаем из второго уравнения, что $u^2+v^2=13$. Подставим это значение:

$13 + 2uv = 25$

$2uv = 12$

$uv = 6$

Теперь решим систему для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u+v=5, \\ uv=6 \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1=2, t_2=3$.

Рассмотрим два случая:

1. $u=2, v=3$. Возвращаясь к исходным переменным: $\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y}=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3}$.
Первое решение: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.

2. $u=3, v=2$. Возвращаясь к исходным переменным: $\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{y}=2 \Rightarrow y=\frac{1}{2}$.
Второе решение: $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.