Номер 186, страница 302 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 186, страница 302.

Условие.

Решите системы уравнений (186–188).

186. а)

$$\begin{cases}\sqrt{x} - \sqrt{y} = 4, \\2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 18;\end{cases}$$

б)

$$\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8, \\\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 15;\end{cases}$$

в)

$$\begin{cases}3\sqrt{x} - \sqrt{y} = 8, \\\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 19;\end{cases}$$

г)

$$\begin{cases}\sqrt{xy} = 12, \\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 7.\end{cases}$$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 4 \\ 2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 18 \end{cases} $$ Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как значения под корнем не могут быть отрицательными, и результат извлечения арифметического квадратного корня неотрицателен, то $x \ge 0, y \ge 0, a \ge 0, b \ge 0$.
Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так: $$ \begin{cases} a - b = 4 \\ 2a + 3b = 18 \end{cases} $$ Это система линейных уравнений. Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 4 + b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(4 + b) + 3b = 18$
$8 + 2b + 3b = 18$
$5b = 18 - 8$
$5b = 10$
$b = 2$
Теперь найдем $a$:
$a = 4 + b = 4 + 2 = 6$.
Мы получили $a = 6$ и $b = 2$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условию.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$\sqrt{x} = a \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 6^2 = 36$
$\sqrt{y} = b \Rightarrow \sqrt{y} = 2 \Rightarrow y = 2^2 = 4$
Проверим найденное решение $(36, 4)$:
$\sqrt{36} - \sqrt{4} = 6 - 2 = 4$ (верно)
$2\sqrt{36} + 3\sqrt{4} = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 12 + 6 = 18$ (верно)
Ответ: $(36, 4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 15 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a \cdot b = 15 \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.
Найдем корни этого уравнения через дискриминант или подбором. Корнями являются числа 3 и 5, так как $3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, у нас есть две возможные пары для $(a, b)$:
1) $a = 3$ и $b = 5$
2) $a = 5$ и $b = 3$
Рассмотрим каждый случай:
1) Если $\sqrt{x} = 3$ и $\sqrt{y} = 5$, то $x = 3^2 = 9$ и $y = 5^2 = 25$. Решение: $(9, 25)$.
2) Если $\sqrt{x} = 5$ и $\sqrt{y} = 3$, то $x = 5^2 = 25$ и $y = 3^2 = 9$. Решение: $(25, 9)$.
Оба решения подходят.
Ответ: $(9, 25), (25, 9)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3\sqrt{x} - \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 19 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система в новых переменных: $$ \begin{cases} 3a - b = 8 \\ a + 2b = 19 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b$: $b = 3a - 8$.
Подставим во второе уравнение:
$a + 2(3a - 8) = 19$
$a + 6a - 16 = 19$
$7a = 19 + 16$
$7a = 35$
$a = 5$
Теперь найдем $b$:
$b = 3a - 8 = 3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7$.
Значения $a=5$ и $b=7$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.
Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = a \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$
$\sqrt{y} = b \Rightarrow \sqrt{y} = 7 \Rightarrow y = 49$
Проверим найденное решение $(25, 49)$:
$3\sqrt{25} - \sqrt{49} = 3 \cdot 5 - 7 = 15 - 7 = 8$ (верно)
$\sqrt{25} + 2\sqrt{49} = 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$ (верно)
Ответ: $(25, 49)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{xy} = 12 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases} $$ Из наличия в системе $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ следует, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$. При этих условиях $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
Таким образом, систему можно переписать в виде: $$ \begin{cases} \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 12 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases} $$ Введем замену: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a \cdot b = 12 \\ a + b = 7 \end{cases} $$ Эта система аналогична системе из пункта б). По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корнями уравнения являются числа 3 и 4, так как $3 + 4 = 7$ и $3 \cdot 4 = 12$.
Возможные пары для $(a, b)$:
1) $a = 3$ и $b = 4$
2) $a = 4$ и $b = 3$
Рассмотрим каждый случай:
1) Если $\sqrt{x} = 3$ и $\sqrt{y} = 4$, то $x = 9$ и $y = 16$. Решение: $(9, 16)$.
2) Если $\sqrt{x} = 4$ и $\sqrt{y} = 3$, то $x = 16$ и $y = 9$. Решение: $(16, 9)$.
Оба решения подходят.
Ответ: $(9, 16), (16, 9)$.